Exakte Differentialgleichung, zeigen und lösen

Question

Hallo zusammen!

Ich habe einfach keinen Ansatz bei dieser Aufgabe:

Ich habe diese DGL gegeben:

$$y'(x) = \frac{y(x)sin(x)+sin(y(x))}{cos(x)-xcos(y(x))}$$


Nun soll ich zeigen, dass diese DGL exakt ist und anschließend die allgemeine Lösung angeben (implizit).



Wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank schonmal...

Answer 1

Hallo,

Du hast ja erhalten:

y'(x) *(cos(x) -x cos(y(x))) - (y(x) sin(x) +sin(y(x)))=0

y'(x)=dy/dx

dy/dx *(cos(x) -x cos(y(x))) - (y(x) sin(x) +sin(y(x)))=0  |*dx

dy (cos(x) -x cos(y(x)) - (y(x) sin(x) +sin(y(x)))dx=0

P= - (y(x) sin(x) +sin(y(x))) = - y(x) sin(x) -sin(y(x))

Q= cos(x) -x cos(y(x))

Py= -sin(x) -cos(y)

Qx=-sin(x) -cos(y)

-------->Integrabilitätsbedingung erfüllt: Py=Qx