Wie beweist man die Äquivalenz von verschiedenen Aussagen über allgemeine Matrizen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei quadratische Matrizen A,B vom Typ n.

Zeigen sie, dass folgende Ausdrücke äquivalent sind:

1) AB = BA

2) AB^-1 = B^-1A

3)A^-1B = BA^-1

4) A^-1B^-1 = B^-1A^-1

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich um die Äquivalenz aller Aussagen zu zeigen, erst zeigen muss, dass aus 1) → 2) folgt, dann 2) → 3), 3) → 4), 4) → 1). Ich weiß nur nicht, wie ich diese einzelnen Schritte zeigen soll? Wenn mir jemand zB den Schritt von 1) → 2) beispielhaft erklären könnte, könnte ich mir den Rest sicher erschließen.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

In den Voraussetzungen fehlt noch, dass die quadratischen Matrizen \(A\) und \(B\) auch invertierbar sind. Das setzen wir im Folgenden voraus:

$$\underbrace{AB=BA}_{=(1)}\implies B^{-1}(AB)B^{-1}=B^{-1}(BA)B^{-1}\implies \underbrace{B^{-1}A=AB^{-1}}_{=(2)}$$$$\phantom{AB=BA}\implies A^{-1}(B^{-1}A)A^{-1}=A^{-1}(AB^{-1})A^{-1}\implies \underbrace{A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1}}_{=(4)}$$$$\phantom{AB=BA}\implies B(A^{-1}B^{-1})B=B(B^{-1}A^{-1})B\implies \underbrace{BA^{-1}=A^{-1}B}_{=(3)}$$$$\phantom{AB=BA}\implies A(BA^{-1})A=A(A^{-1}B)A\implies \underbrace{AB=BA}_{=(1)}$$