Zeigen Sie, dass die Folge (√xk)k∈ℕ gegen √x konvergiert.

Question

Sei (x_k)_k∈ℕ eine konvergente Folge in [0, ∞) mit Grenzwert x ∈ ℝ.
(a) Zeigen Sie, dass die Folge (√x_k)_k∈ℕ gegen √x konvergiert.
(b) Muss auch die Folge (⌊x_k⌋)_k∈ℕ gegen ⌊x⌋ konvergieren?

Danke im Voraus

Answer 1

Für (a) gibt es zwei Möglichkeiten, wie du vorgehen kannst: Entweder du nutzt den Fakt, dass die Wurzelfunktion stetig ist und daher gilt

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \Longrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(x) \)

Der Beweis dieser Regel ist sehr einfach. Du kannst natürlich auch einen ganz normalen epsilon-delta Beweis führen.

Bei (b) kannst du die obige Regel nicht mehr anwenden, da die Abrundungsfunktion nicht stetig ist. Finde einfach ein Gegenbeispiel (Tipp: betrachte n/(n+1), hier musst du natürlich noch beweisen, dass es ein Gegenbeispiel ist).