Aloha :)
zu a) Die Divergenz sollte verschwinden, weil es keine magnetischen Monopole gibt. Wir prüfen das mathematisch nach:$$\operatorname{div}\vec B(x;y)=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}\right)=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\right)$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec B(x;y)}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\right)=0$$
Die Rotation der Magnetfeldes ermitteln wir so:$$\operatorname{rot}\vec B(x;y)=\frac{\mu_0I}{2\pi}\begin{pmatrix}\partial _x\\\partial_y\\\partial _z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} \frac{-y}{x^2+y^2} \\ \frac{x}{x^2+y^2} \\ 0\end{pmatrix}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{rot}\vec B(x;y)}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}\end{pmatrix}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\end{pmatrix}=\vec 0$$Als Mathematiker merkst du jetzt nichts und nimmst das Ergebnis so hin, aber als Pyhsiker solltest du überrascht sein. Die Lösung des Problems liegt daran, dass das Magnetfeld außerhalb des Leiters angegeben ist. Dort fließt aber tatsächlich kein Strom. Der ursächliche Strom fließt innerhalb des Leiters. Um ihn zu ermitteln, müsstest du die Rotation des Magnetfeldes \(\vec B_0\) bestimmen, das im Inneren des Leiters herrscht.
zu b) rot-grad und div-rot verschwinden immer.
Da \(f\) und \(\vec g\) 2-mal stetig partiell differenzierbar sind, kann man die Reihenfolge der 2-ten partiellen Ableitungen vertauschen:$$\operatorname{rot}\operatorname{grad}f=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial _z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\partial_xf\\\partial_yf\\\partial _zf\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_{yz}f-\partial_{zy}f\\\partial_{zx}f-\partial_{xz}f\\\partial_{zy}f-\partial_{yz}f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec0$$
$$\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec g=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial _z\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial _z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}g_x\\g_y\\g_z\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial _z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\partial_yg_z-\partial_zg_y\\\partial_zg_x-\partial_xg_z\\\partial_xg_y-\partial_yg_x\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec g}=\partial_{xy}g_z-\partial_{xz}g_y+\partial_{yz}g_x-\partial_{yx}g_z+\partial_{zx}g_y-\partial_{zy}g_x$$$$\phantom{\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec g}=(\partial_{xy}g_z-\partial_{yx}g_z)+(-\partial_{xz}g_y+\partial_{zx}g_y)+(\partial_{yz}g_x-\partial_{zy}g_x)=0+0+0=0$$
