Aloha :)
Ich schrebe den Erwartungswert gerne mit spitzen Klammern, also \(\langle A\rangle\) statt \(E(A)\), weil ich das übersichtlicher finde.
Hier haben wir folgende Funktion gegeben:$$f(x)=3000+10x+0,5x^2$$und kennen sowohl den Erwartungswert \(\left<x\right>\) als auch die Standardabweichung \(\sigma(x)\):$$\left<x\right>=60\quad;\quad\sigma(x)=\sqrt{\left<x^2\right>-\left<x\right>^2}=4$$Wir holen uns zunächst den Erwartungswert von \(x^2\) aus dem Quadrat der Standardabweichung:$$\left<x^2\right>-\left<x\right>^2=16\quad\implies\quad\left<x^2\right>=16+\left<x\right>^2=16+60^2=3616$$
Nun muss der Erwartungswert von \(f(x)\) gebildet werden. Die wichtigste Rechenregel beim Erwartungswert ist, dass dieser linear ist, das heißt für zwei Zufallsgrößen \(A\) und \(B\) sowie einen konstanten Faktor \(c\in\mathbb R\) gelten folgende Regeln:$$\left<A+B\right>\stackrel{(1)}{=}\left<A\right>+\left<B\right>\quad;\quad\left<c\cdot A\right>\stackrel{(2)}{=}c\cdot\left<A\right>$$Mit diesen beiden Regeln haben wir nun:$$\left<f(x)\right>=\left<3000+10x+0,5x^2\right>\stackrel{(1)}{=}\left<3000\right>+\left<10x\right>+\left<0,5x^2\right>$$$$\phantom{\left<f(x)\right>}\stackrel{(2)}{=}3000+10\cdot\left<x\right>+0,5\cdot\left<x^2\right>=3000+10\cdot60+0,5\cdot3616=5408$$
