Zwei Punkte auf einer Parabel zu f(x) die Tangente an f durch 2 Punkte führen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche zwei Punkte auf der Parabel zu f(x) = 4x² die Tangente an f durch den Punkt (-1, -32) führt.

Ich wollte das mit der Tangentengleichung probieren, bin allerdings nicht mehr weitergekommen.

Answer 1

Hallo,

Du hast gegeben:$$f(x)=4x^2, \quad f'(x)=8x $$wähle einen Punkt \(x=a\) auf der Parabel, dann ist die Gleichung der Tangente \(t\) nach der Punkt-Steigungsform:$$\begin{aligned} t: \quad t_a(x) &=f'(a)(x-a)+f(a) \\ &= 8a(x-a)+4a^2 \\ &= 8ax - 4a^2 \\ \end{aligned}$$Mit der Bedingung, dass diese Tangente durch den Punkt \(P(-1|\,-32)\) verlaufen soll, gilt:$$t_a(-1) = -32$$und daraus folgt$$\begin{aligned} \implies 8a\cdot (-1) - 4a^2 &= -32\\ a^2 + 2a - 8 &= 0\\ a_{1,2} &= -1 \pm \sqrt{1 + 8}\\ &= -1 \pm 3\\a_1 &= 2,\quad a_2=-4 \end{aligned}$$Der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist:

~plot~ 4x^2;{-4|64};-32x-64;{-1|-32};[[-8|7|-38|76]];{2|16};16x-16 ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

Löse das System:

u=8v²

8v=\( \frac{u+32}{v+1} \).

Dann ist (v|u) der Berührpunkt der Tangente an die Parabel (zwei Lösungen).

Comments

Das erste in die zweite einsetzen und nach v auflösen?

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Das ist eine gute Idee.

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u = 128 und v = 4
Gesucht sind aber insgesamt vier Ergebnisse.

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ich habe u = 16 und v = 2 sowie u = 64 und v = -4 heraus.