Hochpunkte einer Funktionsschar, Rechenfehler beim Einsetzen

Question

Hallo zusammen,

es geht um die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten einer Funktionenschar. So weit, so gut...

Das Verfahren kann ich, nur bei einsetzen der Extremwerte komme ich nicht auf die Lösung (im Buch). Was rechne ich unten falsch? Rechts stehen meine Rechenwege, die zur falschen Ergebnissen führen.

Text erkannt:

c) \( f_{a}(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{a^{2}}{4} x^{2} \)
\( f_{a}^{\prime}(x)=0,5 x^{2}-0,5 a^{2} x \)
\( f_{a}{ }^{\prime \prime}(x)=x-0,5 a^{2} \)
\( f_{\alpha}^{\prime}(x)=0 \)
\( 0,5 x^{2}-0,5 a^{2} x=0 \quad 1: 0,5 \)
\( x^{2}-a^{2} x=0 \)
\( x\left(x-a^{2}\right)=0 \) Isatz vom Nulcprodulet
\( x=0 \quad v \quad x-a^{2}=0 \quad 1+a^{2} \)
\( f_{a}\left(a^{2}\right)=\frac{1}{6} \cdot\left(a^{2}\right)^{3}-\frac{a^{2}}{4} \cdot\left(a^{2}\right)^{2}=\frac{1}{6} \cdot a^{6}-\frac{1}{4} a^{2} \cdot a^{4} \)
\( f_{a}^{\prime \prime}(0)<0 \) Hochpunkt bei HP(O \( \left.F_{a}(0)\right)= \) HP(O|O)
\( =\frac{1}{6} \cdot a^{6} \cdot \frac{1}{a} a^{6} \)
\( f_{a}{ }^{\prime \prime}\left(a^{2}\right)=\left(a^{2}\right)>0 \rightarrow \) Tiefpunkt bei \( T p\left(a^{2} \sqrt{\left\{_{a} C_{a}^{2}\right)}=T P\left(a^{2} \backslash\left(-\frac{1}{12} a^{6}\right)\right)\right. \)
Lösung aus dem Buch

Answer 1

\(f_{a}\left(a^{2}\right)=\frac{1}{6} \cdot\left(a^{2}\right)^{3}-\frac{a^{2}}{4} \cdot\left(a^{2}\right)^{2} \)

\(=\frac{1}{6} \cdot a^{6}-\frac{1}{4} a^{2} \cdot a^{4} \)

\(=\frac{2}{12} \cdot a^{6}-\frac{3}{12} a^{6}  \)

\(=  -\frac{1}{12} \cdot a^{6}  \)

Comments

Danke,

Und oben rechts - f'' (a^2) ?

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f_a''(x)= x - a^2 / 2

f_a''(a^2) = a^2 - a^2/2 = 2a^2/2 - a^2/2 = a^2/2