Bestimme ob diese Reihen konvergierten/ bestimmt divergieren

Question

Aufgabe:

Bestimme ob \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) a_n konvergiert oder bestimmt divergiert, falls a_n gleich

a) ( 4n 3n)^-1 (dh. 4n über 3n)

b) \( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \) ( wert der Reihe  fall b) bestimmen )

Problem/Ansatz:

Bei Teil b) komme ich mit dem Quitienkriterium auf den Grenzwert 1, da ich meine Reihe zu \( \frac{1}{2n^2+2n} \) zusammenfassen kann.

\( \frac{1(2n^2 + 2n)}{1· 2(n+1)^2 + 2(n+1)} \)

\( \frac{2n^2+2n}{2n^2+4n+4+2n+2} \) -> \( \frac{2}{2} \) -> 1 

Kann dies stimmen ?

Zu Teil a) verwirrt mich die hoch -1

\(( \frac{4n!}{3n!·(4n-3n)!} \) )^-1 den Nenner kann ich zusammenfassen zu 3n! · n! Aber weiter komme ich nicht weiter

Answer 1

Das "hoch -1 " bedeutet einfach nur den Kehrwert des Bruches.

Das sieht dann wohl so aus

 1/(3n+1) * 2/(3n+2) * 3/(3n+3) * ...    n/(4n+1)

= \(  \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{3n+k}   =  \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{3n}{k}}\)

Comments

Irgendwie bin ich verwirrt… wie du auf den letzten Schritt kommst, da n=4n und k=3n entspricht.

Wäre Teil b) richtig ?

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Bei Teil b) komme ich mit dem Quotientenkriterium auf

\(  \frac{a_{n+1}}{a_n} =  \frac{n}{n+1}  \)

Und bei a) hatte ich so gedacht :

Die Faktoren von 1 bis 3n kann man alle wegkürzen und

dann bleibt :

\( \frac{(4n)!}{(3n)!·n!} = \frac{((3n+1) \cdot (3n+2)\cdot (3n+3)\cdot \cdot \cdot \cdot (3n+n)}{n!}  \)

und mit dem "hoch -1 " gibt es das, was ich oben schrieb.

Vielleicht lässt sich das irgendwie mit etwa von der Form

\(  (1 + \frac{t}{n})^n  \) abschätzen, das ginge dann ja gegen e^t .