Beweise a) ℙ(X<0) ≤ E[x] und b) ℙ(X<0) ≥ 1 – Var(x) / (E[x])2

Question

Aufgabe

Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N0.

Zeige

a) ℙ(X<0) ≤ E[x]

b) ℙ(X<0) ≥ 1 – \( \frac{ Var(x)}{(E[x])²} \)

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie diese beiden Beweise lauten?

Für Hilfe wäre ich dankbar

Comments

Mir ist die Aufgabenstellung unklar.

Wenn \(X\in\mathbb N_0\) ist, dann ist immer \(X\ge0\) bzw. \(P(X<0)=0\).

Ist das wirklich so gemeint?

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ohhh, natürlich meine ich bei a9 UND B9 P(X>0)

Answer 1

Zu (a)

$$ P\{ X > 0 \} = P\{ X \ge 1 \} \le \text{E}(X) $$ wegen der Markov-Ungleichung und \( X \in \mathbb{N}_0 \)

Zu (b)

$$ P\{ X > 0 \} \le P\{ | X - \text{E}(X)| \ge \text{E}(X) \} \le \frac{ \text{Var}(X) }{ \left[ \text{E}(X) \right]^2 } $$ auch wegen der Markov-Ungleichung.