Zeigen Sie für alle k ∈ \mathbf{N}_{0}, x ∈ \mathbf{R}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle \( k \in \mathbf{N}_{0}, x \in \mathbf{R} \)
\( \left(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}\right)=(-4)^{k}\left(\begin{array}{c} -1 / 2 \\ k \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} -x \\ k \end{array}\right)=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c} x+k-1 \\ k \end{array}\right) . \)

Comments

Das würde ich mit Induktion über k versuchen.

Gruß lul

Answer 1

\(\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=n-k+1}^{n} i=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1}-i=\frac{1}{k !}(-1)^{k} \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1} i=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}k-n-1 \\ k\end{array}\right)\end{aligned} \)

Nun kannst du einfach \(n=-x\) setzen.