Matrixdarstellung einer BLF

Question

Aufgabe:

f= X³ +X²+X-1

Sei K = F5[X]/(f) und α = X die Restklasse von X modulo
(f). Aus der Vorlesung wissen wir, dass K ein Körper und ein F5-Vektorraum mit Basis B = {1,α,α2} ist. Für β ∈ K be- zeichne mit μβ : K → K die Multiplikation mit β; es ist eine F5-lineare Abbildung. Wir bezeichnen mit Sp(β) := Sp(μβ) die Spur von μβ (siehe Def 2.7 in der Vorlesung). Wir erhalten eine F5-lineare Abbildung
Sp:K→F5, β→Sp(β). Zeigen Sie, dass
φ:K×K→F5, (β,γ)→φ(β,γ):=Sp(β·γ)
eine F5-bilineare Abbildung ist und berechnen Sie die Matrix MB(φ). (Hinweis: In K gilt α3 = −α2 − α + 1.)
Problemen/Ansatz:

Ich habe gezeigt, dass das bilinear ist, aber ich habe nicht so ganz verstanden wie ich die Matrix bestimmen kann, wir hatten in Der Vorlesung ein Beispiel mit 2 Basen und einer 2x2 Matrix, aber bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, wie das mit den 3 Basen klappen soll

Würde mich über einen kleinen Ansatz freuen, da ich die weiteren Schritte ganz gut verstanden habe

Comments

Per Definition ist

$$ M_B(\varphi) = \begin{pmatrix} \varphi(1,1) &  \varphi(1,\alpha) & \varphi(1,\alpha^2) \\ \varphi(\alpha,1) &  \varphi(\alpha,\alpha) & \varphi(\alpha,\alpha^2) \\ \varphi(\alpha^2,1) &  \varphi(\alpha^2,\alpha) & \varphi(\alpha^2,\alpha^2)\end{pmatrix} $$

Jetzt muss man sich fragen wie \( \varphi(\alpha^i,\alpha^j) =  \operatorname{Spur}(\alpha^{i+j}) \) aussieht.

Dazu kann man z.B. die Darstellungsmatrizen von \( \mu_{\alpha^k} \), \( k=0,1,2,3,4 \) berechnen.

Z.B. für k = 2 ist

\( \mu_{\alpha^2}(1) = \alpha^2 = 0\cdot 1 + 0 \cdot \alpha + 1 \cdot \alpha^2 \)

\( \mu_{\alpha^2}(\alpha) = \alpha^3 = 1\cdot 1 + (-1) \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha^2 \)

\( \mu_{\alpha^2}(\alpha^2) = \alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = 1 \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha^3  = 1 \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha^2 + (-1) \cdot (1\cdot 1 + (-1) \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha^2) = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot \alpha + 0 \cdot \alpha^2\)

Somit ist

$$ M_B^B(\mu_{\alpha^2}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Die Spur ist also 0+(-1)+0 = -1. Kontrolliere das aber bitte noch mal auf Rechenfehler.