Begründen oder widerlegen von Gleichheiten

Question

Nach dem Prinzip von Inklusion und Exklusion ist nahe liegend, dass gilt:
\(\begin{aligned}\operatorname{dim}\left(U_{1}+ U_{2}+U_{3}\right) &=\operatorname{dim}U_{1}+ \operatorname{dim} U_{2}+ \operatorname{dim}U_{3} \\&-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right) \\ &+\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right) \end{aligned} \)
Begründen Sie diese Gleichheit oder widerlegen Sie sie.

Answer 1

Das gilt nicht im Allgemeinen. Nehme z.B. drei parallel (nicht gleiche) Geraden im \(\mathbb{R}^3\). Auf der linken Seite kommt dann \(2\) raus, auf der rechten Seite jedoch \(3\).

Comments

Der Fragestller hat nicht gesagt, was die Ui sein sollen. Ich vermute, Unterräume. Dann passt das Beispiel nicht, weil parallele Geraden nicht alle durch 0 gehen, also keine Unteräume sind.

Im R^2 geht aber: Die beiden Koordinatenachsen und die Winkelhalbierende des ersten (und dritten) Quadranten.

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Es handelt sich um Unterräume - sorry, dass ich das in der Fragestellung nicht erwähnt habe. Ganz herzlichen Dank für die Antworten!

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Wenn es Unterräume sind, dann nehme einfach drei unterschiedliche Geraden, welche durch den Ursprung gehen und alle in einer Ebene liegen.