Aufgabe - Reihen und deren Konvergenz:
Bestimmen Sie mit Hilfe der bekannten Kriterien, ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht:
a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2020 k^{2}+1}{2021 k^{2}+1}\right)^{k} \),
b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k-1) !}{k^{k-1}} \),
c) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\ln (k+1)}{k} \),
d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{4}} \)
Problem/Ansatz:
Bei allen Teilaufgaben muss man ja Kriterien nutzen um die Konvergenz zu bestimmen. Mit dem Vergleichskriterium kann ich nicht wirklich etwas anfangen, weshalb ich versucht habe die a) (und auch die anderen) mit dem Quotientenkriterium zu lösen, jedoch komme ich am Ende an eine Stelle, die ich nicht mehr weiter auflösen kann und daher schätze ich mal, dass es nicht der richtige Weg ist.
Bei der b) habe ich ebenfalls das Quotientenkriterium angewandt, jedoch komme ich am Ende auf:
(k / k+1)k was ich bisher auch nicht weiter auflösen konnte....
Bei der c) macht das Quotientenkriterium überhaupt keinen Sinn für mich. Man kann ja jetzt schon mit dem Limes sehen, dass es gegen Null konvergiert, oder? Wie muss ich hier mit einem Kriterium vorgehen?
Die d) scheint mir etwas mit dem Leibniz-Kriterium zu tun zu haben, da es sich ja um eine alternierende Reihe handelt. (Denke ich zumindest). Wie wendet man dieses Kriterium aber konkret an? Als Orientierung dafür habe ich nur einen Definitionssatz, der mir leider überhaupt nicht hilft.
Ich hoffe meine Gedanken zu den Teilaufgaben sind verständlich, denn das Thema ist noch sehr "frisch" für mich.
