Unterräume des K-Vektorraums V

Question

Aufgabe:

Seien U, V1, V2 ≤ V
Unterräume des K-Vektorraums V . Zeigen Sie:
1. Ist V2 ≤ U, dann gilt U ∩ (V1 + V2) = (U ∩ V1) + V2.
2. lin(V1 ∪ V2) = V1 + V2.
3. V1 ∪ V2 ≤ V ⇔ V1 ∪ V2 = lin(V1 ∪ V2).
4. Sei M ⊆ V . Dann ist lin(lin(M)) = lin(M)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatz für Augabe 2-4. Kann mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Wie ist denn 4. bei euch definiert, etwa so:

lin(M) ist ist der "kleinste" Unterraum W von V, mit M⊆W.

Dabei bedeutet "kleinste" dann, wenn U irgendein

Unterraum von V ist mit M⊆V dann ist lin(M) ⊆ U.

Dann wäre ja schon nach der Def. lin(M)  ⊆ lin ( lin(M)).

Da aber lin(M) selber so ein Unterraum W ist, der lin(M)

enthält also lin(M) ⊆W , ist es auch der kleinste; denn sei

U irgendein Unterraum von V ist mit lin(M) ⊆U dann ist lin(M) ⊆ U.

Comments

okay, nun verstehe ich das bisschen mehr.. wie ist es mir den anderen Aufagben?

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Bei 3 so ähnlich:

lin(V1 ∪ V2) ist der kleinste Unterraum,

der V1 ∪ V2 enthält. Wenn der gleich

V1 ∪ V2 ist, dann ist eben V1 ∪ V2 ein Unterraum.

Und umgekehrt: Wenn V1 ∪ V2 ein Unterraum ist,

dann ist es auch der kleinste, der V1 ∪ V2 enthält.