Für welche Werte von p sollte man besser ein Flugzeug mit zwei als eines mit vier Triebwerken einsetzen?

Question

Wenigstens die Hälfte der Triebwerke muss funktionieren, damit ein Flugzeug noch
fiegen kann. Jedes
der Triebwerke fällt unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit p Element (0; 1) aus. Für welche
Werte von p sollte man besser ein Flugzeug mit zwei als eines mit vier Triebwerken einsetzen?

Answer 1

X sei die Anzahl der ausgefallenen Motoren

p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor ausfällt.

 

2-Motoriges Flugzeug:

P(X=2) = p*p

4-Motoriges Flugzeug:

P(X=3) = 4*(p*p*p*(1-p)             

(4mal das eigenständige Ereignis, dass ein Motor läuft und alle anderen nicht)

P(X=4) = p*p*p*p

 

Damit es besser ist, in einem zweimotorigen Flugzeug zu sitzen, muss gelten:

P(X=2) < P(X=3) + P(X=4)

p^2 < 4*(p^3 * (1-p)) + p^4

p^2 < 4*p^3 - 4*p^4 + p^4

p^2 < 4*p^3 - 3*p^4

1 < 4p - 3 p^2

0 < 4p - 3 p^2 -1

0 > p^2 - 4/3*p + 1/3

0 = p^2 - 4/3*p + 1/3

p₁₂ = 2/3 ± √ (4/9 - 3/9) = 2/3 ± √ (1/9) = 2/3 ± 1/3

p₁ = 1/3          p₂ = 1

Das sind die beiden Nullstellen der Parabel p^2 - 4/3*p + 1/3. Da diese nach oben geöffnet ist, muss der Bereich zwischen den beiden Nullstellen kleiner als 0 sein.

Also gilt:

0 > p^2 - 4/3*p + 1/3 für 1/3<p<1

und damit gilt:

P(X=2) < P(X=3) + P(X=4) für 1/3<p<1

Das bedeutet, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Motors größer als 1/3 ist, dann ist es besser in einer 2-motorigen Maschine zu sitzen als in einer 4-motorigen.

Zur Anschauung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=p^2+%3C+4*%28p^3+*+%281-p%29%29+%2B+p^4+from+p%3D0+to+1