Question

Wenn man die Summe dreier Zahlen mit jeweils einer davon multipliziert so erhält man 210,330 und 360. Bestimme die drei Zahlen. Danke vorab

Comments

Was ist das Thema? Primfaktorzerlegung? Teilbarkeit ?

Ich würde mit einer Primfaktorzerlegung von 210, 330 und 360 beginnen.

---

Kannst Du erklären was Du meinst?

Gedreht bzgl?

---

Z.B. bei der Aufgabe muss man mit gedrehten Vorzeichen rechnen: Wenn man die Summe dreier Zahlen mit jeweils einer der Zahlen multipliziert so erhält man 210, 330 und 360. Bestimme die drei Zahlen. Da erhält man die drei Zahlen 7, 11 und 12, aber wie hat man dann gerechnet ?

---

Die Aufgabe hast Du schon mal gestellt und die Antwort ist weiterhin die gleiche.

"gedrehtes Vorzeichen" bezog sich auf die Lösung. Es sind nicht nur die positiven Zahlen Lösung des Gleichungssystems, sondern eben auch die mit gedrehten/negativen/umgekehrten Vorzeichen.

---

Achso danke. Aber wie ist man dann auf die Lösung gekommen ?

---

Die Gleichungen hatte ich Dir hingeschrieben.

Die Lösung habe ich mittels Rechner gefunden.

Von Hand scheint mir das eher aufwendig zu sein...

---

Und wie rechnet man das dann mit Taschenrechner ? :-)

---

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2By%2Bz%29+*x+%3D+210%2C++%28x%2By%2Bz%29*y+%3D+330%2C++%28x%2By%2Bz%29*z+%3D+360

;)

Answer 1

a² + a·b + a·c = 210
a·b + b² + b·c = 330
a·c + b·c + c² = 360

b * I - a * II, c * I - a * III

b·(a² + a·b + a·c = 210) - a·(a·b + b² + b·c = 330)
0 = 210·b - 330·a
b = 11/7·a

c·(a² + a·b + a·c = 210) - a·(a·c + b·c + c² = 360)
0 = 210·c - 360·a
c = 12/7·a

Das setze ich mal in die erste Gleichung ein

a² + a·b + a·c = 210
a² + a·(11/7·a) + a·(12/7·a) = 210
30/7·a² = 210
a = -7 ∨ a = 7

Dann noch b und c ausrechnen und man hat die Lösung... Ich spare mir das hier mal.

Answer 2

Hi Michael,

Deine Frage lässt sich durch die Gleichungen bestimmen:

(x+y+z) *x = 210,

(x+y+z)*y = 330,

(x+y+z)*z = 360


Diese lösen (ich mit Rechner) und man erhält:

x = 7, y = 11 und z = 12

(bzw. mit gedrehtem Vorzeichen)


Grüße

Comments

Übrigens wie rechnet man mit gedrehtem Vorzeichen bzw. wie hast du hier gerechnet ?

---

Das ist nur die zweite Möglichkeit (die eventuell sogar gar nicht verlangt  ist?)

x = -7 y = -11 und z = -12

ist ebenfalls Lösung des oben genannten Gleichungssystems.

Answer 3

Was ist das Thema? Primfaktorzerlegung? Teilbarkeit ?

Ich würde mit einer Primfaktorzerlegung von 210, 330 und 360 beginnen.

Hier eine nichtrechnerische Lösung:

Man sieht auf einen Blick, dass alle Zahlen durch 30 teilbar sind.

210 = 30*7
330=30*11
360 = 30*12

Zufällig ist 7+11+ 12 gerade 30.

D.h. eine Möglichkeit ist x=7, y=11, z=12

210 = -30*(-7)
330=-30*(-11)
360 = -30*(-12)

==> x=-7, y=-11, z=-12 geht auch.

Nun noch ein Versuch mit einem kleineren gemeinsamen Teiler der 3 Zahlen

210 = 15*14
330=15*22
360 = 15*24

14+22+24 > 15. Geht somit sicher nicht, wenn man keine neg. Lösungen zulassen möchte.
Du kannst dir vielleicht noch überlegen, ob und vor allem warum keine weiteren Lösungen möglich sind, wenn man neg. Zahlen zulassen würde. 

Comments

Diese Erklärung ist auch sehr gut. Danke