Integral auf Einheitskugel

Question

Aufgabe:

Sei \(E\) =  { \((x, y, z) ∈ ℝ | x^2 + 4y^2 + 9z^2 ≤ 1\) }. Berechne das Integral \( \int\limits_{E} \) \(y^4\) dλ₃(x, y, z).

Problem/Ansatz:

Meine bisherige Überlegung ist wie folgt: Verwende anstatt E die Einheitskugel, dann kann nachdem das Integral für diese berechnet wurde mit der Determinante der Transformationsmatrix ((1, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 7)) multipliziert werden.

Da \( (x, y, z) \) = \( (rcos(φ)cos(θ), rsin(φ)cos(θ), rsin(θ)) \), habe ich bisher das Integral

\( \int\limits_{-π}^{π} \) \( \int\limits_{-π/2}^{π/2} \) \( \int\limits_{0}^{1} \) \( (rsin(φ)cos(θ))^4 r^2cos(θ) dr dθ dφ\)

Ist das der richtige Ansatz oder ist das Ersetzen von \( y^4 \) durch \( (rsin(φ)cos(θ))^4 \) falsch?

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du die Berechnung erheblich vereinfachen, indem du den Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten der Punktmenge \(E\) möglichst geschickt wählst. Deine Idee mit Kugel-Koordinaten ist schon gut. Du solltest allerdings jeder Koordinate einen eigenen Skalierungsfaktor spendieren.

Für \(y=z=0\) gilt \(x\in[-1|1]\), für \(x=z=0\) gilt \(y\in[-\frac12|\frac12]\) und für \(x=y=0\) gilt \(z\in[-\frac13|\frac13]\). Daher schlage ich folgenden Abtastvektor vor:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\theta\\\frac12r\sin\varphi\sin\vartheta\\\frac13r\cos\theta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in[0;\pi]$$Die Funktionaldeterminante ändert sich dadurch um den Faktor \(\frac16\), weil wir aus einer Reihe der Determinante den Faktor \(\frac12\) und aus einer anderen Reihe den Faktor \(\frac13\) rausziehen können. Daher lautet das Volumenelemt:$$dV=\frac16r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$und wir können das Integral formulieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\left(\frac12r\sin\varphi\sin\vartheta\right)^4\cdot\frac16r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$I=\frac{1}{2^4\cdot6}\cdot\int\limits_{r=0}^1r^6\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin^4\varphi\,d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\sin^5\vartheta\,d\vartheta$$Das Integral über \(dr\) ist gechenkt gleich \(\frac17\). Die Freude am Ausrechnen der Integrale über die Winkel möchte ich dir nicht nehmen und gebe nur das Ergebnis an:$$I=\frac{1}{2^4\cdot6}\cdot\frac17\cdot\frac{3\,\pi}{4}\cdot\frac{16}{15}=\frac{1}{6}\cdot\frac17\cdot\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{840}$$

Comments

Dankeschön, ein weiteres Mal hast du mich gerettet :)