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Bestimmen Sie, ob die Funktion

f3 : ℝ → ℝ, f3(x) := x* 1(x),
an der Stelle x = 0 differenzierbar ist.


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Sei also
\( f(x)=x^{2} \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(x), \quad \chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, x \in \mathbb{Q} \\ 0, \text { sonst } \end{array}\right. \)
Wir wollen untersuchen, ob
\(\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2} \chi_{\mathbb{Q}}(h)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h)\end{aligned} \)
existiert. Es ergibt sich
\(\begin{aligned} 0 \leq \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h) \leq \lim \limits_{h \rightarrow 0} h=0 \Longrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h)=0\end{aligned} \)

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