Bestimmen Sie, ob die Funktion differenzierbar ist

Question

Bestimmen Sie, ob die Funktion

f₃ : ℝ → ℝ, f₃(x) := x² * 1_ℚ(x),
an der Stelle x = 0 differenzierbar ist.

Danke im Voraus

Answer 1

Sei also
\( f(x)=x^{2} \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(x), \quad \chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, x \in \mathbb{Q} \\ 0, \text { sonst } \end{array}\right. \)
Wir wollen untersuchen, ob
\(\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2} \chi_{\mathbb{Q}}(h)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h)\end{aligned} \)
existiert. Es ergibt sich
\(\begin{aligned} 0 \leq \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h) \leq \lim \limits_{h \rightarrow 0} h=0 \Longrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \cdot \chi_{\mathbb{Q}}(h)=0\end{aligned} \)