Extremwertproblem Kino Preis berechnen

Question

Ein Kino hat bei einem Eintrittspreis von 8€ durchschnittlich 240 Besucher. Würde man den Eintrittspreis um 0,5€, 1€ etc. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10, 20 usw. zurück. Bei welchem EIntrittspreis wären die Einnahmen am größten?

  Ich verstehe die Aufgabe nicht!

Answer 1

f(x) ist die Besucherzahl in Abhängigkeit vom Preis.

Hier ein paar bekannte Werte:

f(8) = 240

f(8,5) = 230

f(9) = 220

Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang.

Damit lautet der Ansatz für f(x):

f(x): y = mx + d

m = (y₂-y₁)/(x₂- x₁)

m = (230-240) / (8,5-8) = -10/0,5 = -20

d bestimmen:

240 = -20*8 + d

400 = d

Damit gilt:

f(x) = -20x + 400

Die Einnahmen errechnen sich aus der Anzahl der Besucher mal dem Preis:

Also gilt:

E(x) =x * f(x)

E(x) = x * -20x + 400 = -20x^2 + 400 x

Dies soll maximal sein.

E ' (x) = -40x + 400 = 0

40x = 400

x = 10

E '' (x) = -40 < 0 für alle x

Daraus folgt: Bei x= 10 hat E(x) ein Maximum.

Die Einnahmen werden also bei einem Preis von 10€ am größten. Die Einnahmen betragen dann 2000€.