Beweisen, dass Funktion bijektiv ist

Question

Beweisen Sie, dass die Funktion
f : ]−π, π] → {z ∈ ℂ | |z| = R}, f(φ) := Re^iφ,

für jedes R > 0 bijektiv ist.

Danke im Voraus

Answer 1

injektiv:

Seien α und ß ∈  ]−π, π] mit f(α) = f(ß).

 ==>      Re^iα =  Re^iß,

Wegen R>0 also e^iα =  e^iß  ==>   e^iα /  e^iß  =1 ==>   e^iα-iß  =   e^i(α-ß) = 1

==> Es gibt n∈ℤ mit α-ß = n*2pi, wegen α und ß ∈  ]−π, π] folgt n=0

also α = ß.

Sei  z ∈  {z ∈ ℂ | |z| = R} und R>0 . also z=a+bi und a^2 +b^2 = R^2

1.Fall a=0 ==>  z=bi = |b| * e ^i*pi/2  also  f(pi/2)=z

2. Fall a≠0

==>  mit φ=arctan(b/a) und R= √(a^2+b^2) hat man ein φ mit f(φ) = z

Comments

und wie beweise ich dass es auch surjektiv ist ?