Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f in der Basis

Question

Sei V= ℝ[x]≤2 und f: V→V eine ℝ-lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix in der Basis B= (1,x,x²)

[f]=^B index B = \( \begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0 & 1 &0\\ 1&0&0 \end{pmatrix} \)

ist.

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f in der Basis

C= (3x²+ 2x +1, x²+3x+2, 2x²+x+3)

Kann mir bitte jemand das ausführlice erklären/vorrechnen ? Ich weiss leider gar nicht wie ich hier vorgehen soll. Danke!

Answer 1

Aloha :)

Die "Vektoren" in der Basis \(C\) kannst du mit den "Vektoren" aus der Basis \(B\) ausdrücken. Damit bekommst du dann die Basiswechsel-Matrix von \(C\) nach \(B\):$${_B}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)$$Nun können wir die Abbildungsmatrix \({_B}F_B\) in der Basis \(C\) schreiben:$${_C}F_C={_C}\mathbf{id}_B\cdot{_B}F_B\cdot{_B}\mathbf{id}_C=\left({_B}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_B}F_B\cdot{_B}\mathbf{id}_C$$$${_C}F_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)   \cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)=\frac13\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 2\\2 & 2 & -1\\2 & -1 & 2\end{array}\right)$$