Die Bedingungen einer Funktion damit sie stetig ist

Question

Hallo, ich habe eine frage bzw. versteh die Bedingungen nicht die ein Funktion haben muss, damit die Funktion Stetig ist..

Könnte mir einer anhand einer Beispiel Aufgabe, die Bedingungen erklären?

Eine Funktion ist an einer Stelle f(x₀) stetig, wenn

1) f(x₀) definiert ist

2) lim f(x) existiert

 ^x→0

3) lim f(x) = f(x₀)

    ^x →0 

Comments

Es muss bei 2) und 3) $$\lim_{x\rightarrow x_0}$$ heißen.

Und es heißt nicht "an einer Stelle \(f(x_0)\) stetig", sondern

"an einer Stelle \(x_0\) stetig".

Answer 1

Eine Funktion ist an einer Stelle x_o stetig, bedeutet anschaulich:

Du kannst den Graphen "durchzeichnen" ohne den Stift abzusetzen.

Nehmen wir an, du hast f(x)=-1 für alle negativen x und

f(x)=+1 für alle x≥0.

Dann zeichne mal den Graphen, wenn du von links zu xo=0  kommst, ist

es eine waagerechte Linie auf der Höhe von -1 und wenn du von rechts

zu xo=0  kommst, bis du auf der Höhe von +1 .

Du kannst die Stücke bei xo=0 nicht passend verbinden, da ist ein Sprung.

Die Funktion ist also dort nicht stetig.

Und die Idee: "ich gehe von rechts bzw. von linke auf die Stelle xo zu,"

wird durch die rechts - und linksseitigen Grenzwerte beschrieben. Wenn die

übereinstimmen sagt man: Es existiert der Grenzwert für x gegen xo .

Und dann muss der natürlich auch gleich dem Funktionswert sein, sonst

wäre in dem Graphen eine Lücke.

Vielleicht hilft auch:

https://www.bing.com/videos/search?q=stetigkeit+von+funktionen&docid=608048226920194841&mid=201CD0D4254262C7F8DC201CD0D4254262C7F8DC&view=detail&FORM=VIRE