Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse

Question

Kann mich bitte jemand bei dieser Aufgabe unterstützen?

In einer Urne befinden sich 7 weiße und 3 schwarze Kugeln. Es werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
(a) Alle 5 Kugeln sind weiß.
(b) Unter den gezogenen Kugeln befindet sich genau eine schwarze.
(c) Unter den gezogenen Kugeln befindet sich mindestens eine schwarze.

(d) Unter den gezogenen Kugeln befinden sich genau zwei schwarze.
(e) Unter den gezogenen Kugeln befinden sich mindestens zwei schwarze.

Answer 1

Hypergeometrische Verteilung

COMB(n, k) ist hier der Binomialkoeffizient (n über k)

a) Alle 5 Kugeln sind weiß.
P(W = 5) = COMB(7, 5)/COMB(10, 5) = 1/12 = 0.0833

b) Unter den gezogenen Kugeln befindet sich genau eine schwarze.
P(S = 1) = COMB(3, 1)·COMB(7, 4)/COMB(10, 5) = 5/12 = 0.4167

c) Unter den gezogenen Kugeln befindet sich mindestens eine schwarze.
P(S ≥ 1) = 1 - P(W = 5) = 1 - 1/12 = 11/12 = 0.9167

d) Unter den gezogenen Kugeln befinden sich genau zwei schwarze.
P(S = 2) = COMB(3, 2)·COMB(7, 3)/COMB(10, 5) = 5/12 = 0.4167

e) Unter den gezogenen Kugeln befinden sich mindestens zwei schwarze.
P(S ≥ 2) = P(S = 2) + P(S = 3) = (COMB(3, 2)·COMB(7, 3) + COMB(3, 3)·COMB(7, 2))/COMB(10, 5) = 1/2 = 0.5

Answer 2

Hallo,

dieses Baumdiagramm sollte dir helfen. Sonst frage bitte nochmal nach.

Gruß, Silvia

Comments

Das hilft mir sehr! Danke! Ich hänge jetzt nur beim Notieren von c) und e).

Answer 3

a) P(X=5)=(7über5)/(10über5)

b) P(X=1)= (3über1)*(7über4)/(10über5)

c)  P(X>=1) = 1- P(X=0)=  1- P( a))

d) P(X=2)= (3über2)*(7über3)/(10über5)

e) P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1) 1- P(a)) -P(b))

Du kannst auch ein Baumdiagramm statt der hypergeometrischen Verteilung verwenden.

Comments

Verstehe ich das richtig, dass bei a) X die Zufallsvariable "Anzahl der Weißen Kugeln" bezeichnet und bei b)  "Anzahl der schwarzen Kugeln"?

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Verstehe ich das richtig, dass bei a) X die Zufallsvariable "Anzahl der Weißen Kugeln" bezeichnet und bei b)  "Anzahl der schwarzen Kugeln"?

Ja, das siehst du völlig korrekt.

Natürlich wäre es schöner, wenn man das immer über der Aufgabe definiert. Allerdings geht es in Lösungen meist darum, dass ein Sachverständiger 3. sie nachvollziehen kann. Und da du das offensichtlich kannst, ist es meiner Meinung nach auch legitim das nicht für jede Aufgabe zu definieren.

Man könnte auch ansonsten S: als die Zufallsgröße der Anzahl der schwarzen und W: als die Zufallsgröße der Anzahl der weißen Kugeln zu definieren.

So habe ich das in meiner Antwort gemacht.

Aber auch ich habe die eigentliche Definition weggelassen, weil auch ich denke das dies klar sein sollte.

Fragt ggf. euren Dozenten, ob es dafür Abzugspunkte geben würde.