Descending chain condition

Question

Ich hätte eine Frage bzgl. einer Form der Wohlordnungsgemeinschaft die "descending chain condition" (DCC).

Sei f: N--->Ν eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ∀n ∈  N: f(S(n)) ≤ f(n)      (S ist die Nachfolgerfunktion)

Dann existiert n₀ ∈ N mit f(n)=f(n_0) für alle n ∈ N, n ≥ n₀

Könnte mir irgendjemand die Thematik dieses Form erklären bzw. Denkanstöße geben?

Comments

https://en.wikipedia.org/wiki/Ascending_chain_condition Hier könntest du noch die Sprache umstellen. Deutsch sehe ich nicht direkt. Vielleicht kommst du mit Französisch weiter?

Answer 1

Betrachte die Menge \(R=\{f(S(n))\;:\: f(S(n))<f(n)\}\subseteq \mathbb{N}\).

1. Fall: \(R\neq \emptyset\).

Wegen der Wohlordnung von \(\mathbb{N}\)

besitzt diese ein kleinstes Element \(m\).

Die Menge \(S=\{n\; : \; f(n)=m\}\) besitzt

wieder wegen der Wohlordnung ein kleinstes Element \(n_0\).

Die absteigende Kette der \(f(n)\) wird also ab \(n_0\) stationär,

d.h. DCC liegt vor.

2. Fall: \(R=\emptyset\).

In diesem Fall ist \(f\) konstant und DCC trivialerweise erfüllt.

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Vielen Dank. Endlich habe ich eine ausführliche Erklärung gefunden.