Stetigkeit (Prüfen ob x im Definitionsbereich liegt)

Question

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Stetigkeit.. gegeben ist

f(x) = x²  für x ≤ 1

f(x) = -(x-2)²+3  für x > 1

Aufgabe: Ist die Funktion f an der Stelle x₀= 1stetig?

Problem: Als erstes muss ich ja schauen ob 1 im Definitionsbereich liegt... ich weiss aber nicht wie ich das weiß... Also muss ich in der oben gegeben Funktion statt eine x eine 1 einsetzten und schauen ob x₀=1 im Definitionsbereich liegt?

Also 1 ≤ : x² und 1 > 1: -(x-2)²+3 ?

oder muss ich für alle x, x_o = 1 einsetzen, also

1 ≤ : 1² und 1 > 1: -(1-2)²+3

Answer 1

Es gibt kein Einschränkung -> D = R

1 in beide Teilfunktionen einsetzen.

f(x) =x^2 -> f(1) = 1

f(x) = -(x-2)^2+3 -> f(1) = -1+3 = 2

Da die Funktionswerte nicht übereinstimmen, ist f(x) nicht stetig an der Stelle x= 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2+%2C+-%28x-2%29%5E2%2B3

Comments

ich glaube, da muss etwa falsch sein, da ich mein Beispiel aus dem folgenden Video habe https://studyflix.de/mathematik/stetigkeit-3251 und da ist die Funktion stetig...

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Deine Fkt. kommt im Link nicht vor.

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Doch es ist im Video ab Minute 2:10, da wird gesagt, dass x₀₌ 1 im Definitionsbereich liegt, und am ende wird gesagt, dass die Funktion Stetig ist.

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Nein, am Ende wird gesagt, das f(x) NICHT stetig.

Minute 4:09

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Aber bei Minute 2:10 wird doch der Definitionsbereich ausgerechnet und da heißt es das die Funktion diese Bedingung erfüllt, aber es kommt anscheinend ja

f(x) =x² -> f(1) = 1
f(x) = -(x-2)²+3 -> f(1) = -1+3 = 2

raus, also zwei unterschiedliche werte... sollte es dann nicht heißen, dass x₀=1 nicht im Definitionsbereich liegt? aber im Video wird gesagt, dass x₀=1 im Definitionsbereich liegt

Answer 2

"Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Stetigkeit.. gegeben ist

f(x) = x² für x ≤ 1,

f(x) = -(x-2)^2+3 für x > 1,

Aufgabe: Ist die Funktion f an der Stelle x0= 1stetig? Als erstes muss ich ja schauen ob 1 im Definitionsbereich liegt... ich weiss aber nicht wie ich das weiß"

Die Definition ist das, was gegeben ist. Dein f ist stückweise definiert. Du musst schlicht schauen, ob für x0=1 eine Rechenvorschrift vorhanden ist. Das ist in der ersten Zeile der Fall. Dort darfst du nach Definintion x0 = 1 einsetzen. Also liegt 1 im Definitionsbereich von f.

Lass dich da nicht zu stark verwirren.

Es gibt Fragestellungen, bei denen erwartet wird, dass man Definitionslücken findet. So was ist für Polynome nicht nötig.

Comments

Ich verstehe nicht ganz... also setzte ich 1 für alle x werte immer ein um zu schauen ob meine Funktion im Definitionsbereich liegt? und wenn die Funktionen Unterschiedliche Ergebnisse liefern liegt mein x₀=1 nicht im Definitionsbereich?

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Nein. Der Definitionsbereich, ist der Bereich, aus dem die x-Werte stammen dürfen. Du brauchst diese x-en gar nirgends einzusetzen, um festzustellen, ob sie im Definitionsbereich von f liegen.

Lies bitte meine Antwort nochmals mit dieser Zusatzinformation.

PS. Du hängst immer noch beim Gleichen fest, wie bei https://www.mathelounge.de/900899/graph-anhand-einer-funktion-zeichnen?state=edit-900905 . Damals waren zwei Halbgeraden, weil dort der Definitonsbereich an der Stelle x=0 zwischen den beiden Zuordnungsvorschriften also damals im Graphen den beiden Halbgeraden wechselt.

Verstehst du denn in der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion#Reelle_Betragsfunktion , weshalb dort (ebenfalls zwei Halbgeraden) einmal x≥0 und dann x≤0 steht ?

Die haben Glück, dass zweimal dasselbe rauskommt für x=0, sonst wäre deren "Betragsfunktion" gar keine "Funktion".