Boolschen Ring Zeigen

Question

Aufgabe:

Man nennt einen Ring (R, +, · ) einen Boolschen Ring, wenn x² = x für alle x ∈ R gilt.
1. Begründen Sie, dass der Restklassenring ((Z/2Z)n,+,·) mit n ∈ N und der Mengen-Ring (P(X),∆,∩) über einer beliebigen Grundmenge X Boolsche Ringe sind.

Als Hinweis wurde hier noch gesagt dass man voraussetzen darf und soll, dass es sich um einen Ring handelt

2. Zeigen Sie für einen Boolschen Ring (R, +, · ), dass alle seine Elemente additiv selbstinvers sind und er kommutativ ist, dass also x+x = 0 und xy = yx für alle x,y ∈ R gelten.

Als Hinweis wurde hier noch gegeben, dass man (x+x)² beziehungsweise (x+y)² betrachten soll

Problem:

Hey also irgendwie komme ich hier nicht wirklich weiter, ich hatte überlegt bei 1. einfach alle Dinge zu Überprüfen die auf einen Ring zutreffen und anschließend nur noch zu zeigen dass x²=x gilt aber mir fehlt es immer an dem notwendigen Verständnis wie ich das jetzt genau auf Papier bringe

Wäre lieb, wenn mir vielleicht jemand helfen könnte :)

Comments

Lies dir die Aufgabe nochmal durch. Du darfst voraussetzen, dass beides Ringe sind. Warum willst du dann alle Ring Axiome prüfen???

in Z/2Z gibt es nur die Elemente 0, 1 und es ist 0^2=0*0=0 und 1^2=1*1=1 => boolscher Ring

Für den zweiten musst du verstehen was hier M^2 für ein M in P(X) bedeutet. Die "Multiplikation" auf deinem Ring ist ∩, also musst du prüfen ob

M^2 = M ∩ M = M

für alle M erfüllt ist. Muss man hoffe ich nichts mehr dazu sagen.

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2x = x+x = (x+x)^2 = 4 x^2 = 4x. Quadrate kannst du wegen der Eigenschaft des Rings boolsch zu sein einfach entfernen und hinzufügen.

Beide Seiten -2x liefert 2x=x+x=0

Die andere Eigenschaft solltest du dann voll selbst hinbekommen.

Answer 1

, ich hatte überlegt bei 1. einfach alle Dinge zu Überprüfen die auf einen Ring zutreffen

Das ist nicht nötig, du darfst es ja voraussetzen.

und anschließend nur noch zu zeigen dass x^2=x gilt. Genau darum geht es:

Bei ((Z/2Z)^n,+,·) geht es ja um n-Tupel mit Komponenten in Z/2Z.

Die Komponenten haben also nur die beiden möglichen Werte 0 und 1.

Und weil die Multiplikation komponentenweise erfolgt, musst du

nur prüfen ob in Z/2Z gilt 0*0=0 und 1*1=1. Und stimmt ja.

Bei (P(X),∆,∩) entspricht  ∩  der Multiplikation und für Mengen A

gilt ja immer A∩A=A , also ist das auch boolsch.

Bei 2) sollst du zeigen: Für jeden boolschen Ring gilt

x+x = 0 und xy = yx für alle x,y

Das erste steht schon im Kommentar und "kommutativ" etwa so:

Es gilt   (x+y)^2 = x+y weil ja das Quadrieren nichts ändert (boolsch!)

==>    (x+y)(x+y)=x+y Jetzt nach Distributivgesetz auflösen

Achtung: Keine binomische Formel, die gilt nur bei kommutativen !

==>  x*x +x*y +y*x +y*y = x + y    Quadrate weglassen

==>   x + x*y + y*x +  y =  x+y   | -x-y

==>             x*y + y*x  = 0

==>              x*y = -y*x   und wegen des additiven Selbstinversen

==>            x*y = y*x            q.e.d.