Beweisen Sie, dass die Folge konvergiert.

Question

Aufgabe: Sei (b_n) n∈ℕ^>=2 die Folge mit den Gliedern b_n:= \(  \frac{n^2-n}{n^2-1} \). Beweisen sie dass die Folge konvergiert.

Meine Lösung:

Behauptung: Die Folge konvergiert gegen 1

Beweis: (n^2-n) / (n^2-1) = (n^2(1-n/n^2) ) /  (n^2*(1-1/n^2) )= (1-1/n)( 1-1/n^2) = 1-0=1

Meine Frage: Ist das so korrekt? Ich mache grade Übungsaufgaben im Internet und leider sind keine Lösungen vorhanden

Comments

Welche Übungsaufgaben aus dem Internet sind das denn?

Wenn b(n) := (n^2-n)/(n^2-1) sein soll, dann schreib das auch!

Der Grenzwert 1 ist hier offensichtlich, was zur Not durch den ersten Schritt einer Polynomdivision bestätigt werden kann.

Deine Rechnung stimmt so nicht, obwohl der Ansatz sicher auch zum Ergebnis führt.

Answer 1

Du kannst in solchen Fällen immer auch ganz gut durch

die höchste Potenz von n im Nenner kürzen und hast

\(  \frac{n^2-n}{n^2-1} = \frac{1-\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} \)

und weil 1/n und 1/n^2 gegen 0 gehen, gibt das Grenzwert 1.

Comments

Danke dir:) War bei meiner Rechnung was falsch, wenn ja was genau?

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Ich hab mal die Klammern korrigiert und am Ende

kannst du nicht einfach = schreiben, sondern eher sowas

wie: ==>  Der Grenzwert ist ....

Oder du schleppst bei den vorigen Schritten das lim immer mit.

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Vielen dank:) Meine schreibweise verwirrt mich bisschen. Könntest du das hier wieder als Bruch schreiben also quasi so: \(  \frac{n^2-n}{n^2-1} = \frac{1-\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} \)

Answer 2

n^2-n = n(n-1)

n^2-1 = (n+1)(n-1)

mit (n-1) kürzen:

-> n/(n+1) = 1/(1+1/n) = 1/1 = 1 für n -> oo

Gleicher Effekt, wenn du mit n^2 kürzt.

Man kann auch so argumentieren: für n/(n+1) kann man die 1 vernachlässigen, wenn n gegen oo geht.

-> n/n = 1