Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

Question

Aufgabe:

stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, um eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften:  Der Graph ist symmetrisch zur Y-Achse, schneidet die Y-Achse bei Y = -1 und H(1 / -3) ist ein Hochpunkt

Problem/Ansatz:

Also mit übersetzen komme ich auf

f(0)=-1, f(1)=-3, f‘(1)=0 und f(-1)=-3

stelle ich das auf komme ich auf

e=-1

a+c-1=-3

4a+2c=0

In den Lösungen steht aber auch irgendwie eine mit a+c=-3??

Kann es sein dass da ein Fehler unterlaufen ist? Oder habe ich ein Denkfehler, ich würde mich über Antworten freuen.

Answer 1

"Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, um eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur Y-Achse, schneidet die Y-Achse bei Y = -1 und H(1 | -3) ist ein Hochpunkt."

f(x)=a*x^4+c*x^2 +e

f(0)=e      e=-1

H(1 | -3)

f(1)=a+c -1

1.) a+c -1=-3    1.)  a+c =-2       

f´(x)=4a*x^3+2c*x

f´(1)=4a+2c

2.)4a+2c=0    2.)  c=-2a   in 1.)  a-2a =-2     1.) a=2     2.) c=-4

f(x)=2*x^4-4*x^2 -1

a) Lösbar mit  T(1 | -3)   als Tiefpunkt.

b) Lösbar mit H(1 | 3)  als Hochpunkt.

Comments

Danke, ich denke bei der Aufgabenstellung ist einfach ein Fehler unterlaufen..

Answer 2

Wie ist die Bedingung für den Hochpunkt?

f(1)=-3

und

f '(1)=0.

Wegen der Symmetrie vereinfacht sich der Ansatz

y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e zu

y=ax^4+cx^2+e (mit der Ableitung y'=4ax^3+2cx).

Verwende darauf die drei Bedingungen

f(0)=-1

f(1)=-3
f '(1)=0.

Answer 3

Hallo,

ich komme auch auf dein Ergebnis. Was mich allerdings stört, dass bei der Funktionsgleichung dann P (1|-3) kein Hoch-, sondern ein Tiefpunkt ist.

Mit a + c = -3 wird das allerdings auch nicht schlüssiger.

Gruß, Silvia

Comments

stimmt! Also muss irgendwas falsch sein oder

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Ja, die Frage ist nur, was. Hast du den Aufgabentext genau wiedergegeben?

Denn wenn (1|-3) ein Hochpunkt ist, muss der Schnittpunkt mit der y-Achse unterhalb von -3 liegen.

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Nein :/, habe ihn 1:1 übernommen …

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Deine Lösung führt zu der Funktion \(f\left(x\right)=2x^{4}-4x^{2}-1\) und das ist soweit auch richtig:

https://www.desmos.com/calculator/cshw2dpeos

Nur ist \((1|\,-3)\) hier ein Tief- und kein Hochpunkt, wie Silvia schon richtig angemerkt hat.

In den Lösungen steht aber auch irgendwie eine mit a+c=-3??

... macht für diese Aufgabe wenig Sinn. Was steht denn da noch?

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Mehr steht nicht da. Aber warum ist das jetzt ein Tief und nicht Hochpunkt?

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Mehr steht nicht da

D.h. da steht bloß

Lösung: a+c=-3  

das kann doch nicht sein! Was ist denn das für eine 'Lösung'?

Aber warum ist das jetzt ein Tief und nicht Hochpunkt?

Weil die Funktion dort am tiefsten ist (lokal und global). Also am weitesten unten, bzw. das \(f(x)\) hat bei \(x=1\) ein lokales (und auch globales) Minimum. Schau doch auf den Graphen der Funktion.

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Ja ixh weiss -Warum- das ein Tiefpunkt ist, da aber ein Hochpunkt gefragt war muss es ja offensichtlich falsch sein?!

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Ja ixh weiss -Warum- das ein Tiefpunkt ist, da aber ein Hochpunkt gefragt war muss es ja offensichtlich falsch sein?!

Ja - die Lösung wäre dann 'keine Lösung' - oder mathematisch \(\mathbb L=\{\}\). Es gibt keine ganzrationale Funktion 4.Grades mit diesen Eigenschaften.

Die Forderung nach einem Hochpunkt an der Position \((1|\,-3)\) hieße, dass \(f''(1)\lt0\) sein muss. Dies ist zusammen mit den anderen Forderungen \(f(0)=-1\) und Symmetrie und \(f(1)=-3\) sowie \(f'(1)=0\) schlicht nicht zu erfüllen.

Und was das \(a+c=-3\) soll, ist auch unklar!

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... da aber ein Hochpunkt gefragt war muss es ja offensichtlich falsch sein?!

Nein. Weil:

stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, um eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften

Da steht, du sollst ein lineares Gleichungssystem aufstellen.

Da steht weder dass du das lineare Gleichungssystem lösen sollst noch dass es eine solche ganzrationale Funktion überhaupt gibt.

Würde in der Aufgabenstellung stehen, dass du eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit den genannten Eigenschaften bestimmen solltest, dann wäre die Aufgabe fehlerhaft, weil es eine solche Funktion nicht gibt.

Der einzige Fehler, denn ich sehe, ist die Gleichung \(a+c = -3\).

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@oswald:

Da steht weder dass du das lineare Gleichungssystem lösen sollst noch dass es eine solche ganzrationale Funktion überhaupt gibt.

stimmt! da hast Du auch wieder recht. Ich hatte natürlich implizit angenommen, dass dann auch nach der konkreten Funktion gefragt ist.

Mich würde mal interessieren, ob man bei so einer Aufgabe, z.B. in einer Prüfung, mit dem Gleichungssystem alleine die volle Punktzahl bekommt ;-)

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Ich würde gerne sagen, dass man dann die volle Punktzahl bekommt. Wenn ich mir dann aber manche Mathebücher anschaue, dann bin ich mir nicht mehr so sicher. Da steht dann zum Beispiel im Schnittpunkt sinngemäß:

Aufgabe. Beachte den Faktor vor dem x².

        a) f(x) = 2x² + 4x + 6

        b) f(x) = 3x² - 18x + 5

        ...

Was die vom Autor gewollte Aufgabenstellung sein sollte, konnte man nur daran erkennen, aus welchem Kapitel die Aufgabe stammt. Ich weiß nicht mehr genau ob es um Nullstellen oder Scheitelpunktform ging.

Answer 4

Polynome 4. Grades können nicht mehr als 3 Extremstellen haben. Aus Symmetriegründen sind zwei davon gegeben und P(0|-1) muss das vierte Extremum sein.

Daher gilt: Die Fragestellung selbst enthält einen Fehler.

Die Antwort im Buch vielleicht auch. Vgl. die übrigen Antworten

~plot~ 2*x^4-4*x^2 -1; x=1;x=-1 ~plot~

Comments

Vielen Dank :). Denke ich auch, und ich komme auf die selbe Funktion.

Lg

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zur Illustration:

https://www.desmos.com/calculator/xfvkhp1gtt

Man kann den grünen Punkt waagerecht und den blauen senkrecht verschieben und so (im Prinzip) jede symmetrische ganzrationale Funktion vierten Grades mit \(f(0)=-1\) einstellen.

Es ist nicht möglich, bei \(H=(1,\,-3)\) einen Hochpunkt einzustellen.

Answer 5

Vom Duplikat:

Titel: eine ganzrationale Funktion vierten Grades

Stichworte: wendepunkt,steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften:
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei y = -1 und
H (1 / -3) ist ein Hochpunkt.

Problem/Ansatz:

F(0)= -1

Wie ist die Bedingung für den Hochpunkt?

Wie Wandel ich dies in meinen Taschenrechner um?

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Wie Wandel ich dies in meinen Taschenrechner um?

Eine Frage in einen Taschenrechner umzuwandeln dürfte schwierig werden. Wo willst Du die Materie hernehmen?

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Ich nehme eher an, dass es sich um einen Fipptehler handelt.

Answer 6

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit folgenden Eigenschaften: Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei y = -1 und H (1 | -3) ist ein Hochpunkt.

Ich verschiebe den Graph um 3 Einheiten nach oben und mache weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

f(x)=a*(x-1)*(x+1)*(x-1)*(x+1)=a*(x^2-1)^2

f(0)=a*(0-1)^2=a

a=-1+3=2

f(x)=2*(x^2-1)^2

Nun wieder 3 Einheiten nach unten:

p(x)=2*(x^2-1)^2-3

Der Hochpunkt ist aber ein Tiefpunkt:

Comments

Da man schon vorher absehen kann, dass es keine Lösung geben wird: Warum fämngt man dann überhaupt an zu rechnen?

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Da man schon vorher absehen kann, dass es keine Lösung geben wird

Stimmt! das hatten wir schon inklusive der Diskussion über eine bzw. keine Lösung (s. hier und die Kommentare unter der Antwort von Silvia)