Aufgabe:
Die quadratische Gleichung lautet f(x) = 3/4(x2) und die Umkehrfunktion f-1(x) = √4/3(x).
Zu berechnen ist das Flüssigkeitsvolumen.
Abbildung:
Lösungsbeispiel im Buch:
Wir bestimmen also zunächst die Umkehrfunktion von f \mathrm{f} f. Wir erhalten als Resultat: f−1(x)=x−1,2≤x≤5 f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, 2 \leq x \leq 5 f−1(x)=x−1,2≤x≤5Die Integrationsgrenzen sind die Funktionswerte von f \mathrm{f} f an den Stellen a=1 \mathrm{a}=1 a=1 und b=2 \mathrm{b}=2 b=2, d.h. die Zahlen f(a)=2 f(a)=2 f(a)=2 und f(b)=5 f(b)=5 f(b)=5.Das gesuchte Rotationsvolumen lautet daher: V=π⋅∫25(x−1)2dx=π⋅∫25(x−1)dx=π⋅[12x2−x]25=7,5π V=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(\sqrt{x-1})^{2} d x=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(x-1) d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{2} x^{2}-x\right]_{2}^{5}=7,5 \pi V=π⋅2∫5(x−1)2dx=π⋅2∫5(x−1)dx=π⋅[21x2−x]25=7,5π
Wir bestimmen also zunächst die Umkehrfunktion von f \mathrm{f} f. Wir erhalten als Resultat: f−1(x)=x−1,2≤x≤5 f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, 2 \leq x \leq 5 f−1(x)=x−1,2≤x≤5
Die Integrationsgrenzen sind die Funktionswerte von f \mathrm{f} f an den Stellen a=1 \mathrm{a}=1 a=1 und b=2 \mathrm{b}=2 b=2, d.h. die Zahlen f(a)=2 f(a)=2 f(a)=2 und f(b)=5 f(b)=5 f(b)=5.
Das gesuchte Rotationsvolumen lautet daher: V=π⋅∫25(x−1)2dx=π⋅∫25(x−1)dx=π⋅[12x2−x]25=7,5π V=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(\sqrt{x-1})^{2} d x=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(x-1) d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{2} x^{2}-x\right]_{2}^{5}=7,5 \pi V=π⋅2∫5(x−1)2dx=π⋅2∫5(x−1)dx=π⋅[21x2−x]25=7,5π
Ansatz/Problem:
Ich verstehe hauptsächlich nicht wie hier die Integrationsgrenzen bestimmt wurden. Ist a immer 1 und b = 2 oder wie?
Das Lösungsbeispiel passt nicht zur Aufgabe.
In der Aufgabe sind die Interationsgrenzen 0 und 3.
Das Flüssigkeitsvolumen ist
π⋅22⋅(3−(−1))⏟VZylinder−π⋅∫03(f−1(x))2dx\underbrace{\pi \cdot 2^2\cdot (3-(-1))}_{V_\text{Zylinder}}-\pi\cdot\int\limits_0^3 \left(f^{-1}(x)\right)^2\mathrm{d}x VZylinderπ⋅22⋅(3−(−1))−π⋅0∫3(f−1(x))2dx
Wie bist du auf die Integrationsgrenzen gekommen?
Ich habe das Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht und mir angeschaut, von wo bis wo der Graph die Flüssigkeit beschreibt.
Verstehe. Wie bist du auf die Höhe des Zylinders gekommen? (3-(-1))
Ich habe das Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht und mir angeschaut, von wo bis wo die Flüssigkeit verläuft.
Vielen Dank. Habe als Volumen nun 10π.
Hallo,
du lässt die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren.
Damit sind die Integrationsgrenzen die y-Werte der Ausgangsfunktion, hier also -1 und 3.
Gruß, Silvia
Bitte sachgerecht korrigieren.
Du meinst, ich sollte über die "-1" nochmal nachdenken?
Wenn du es nicht durch die Angabe einer entsprechenden Funktion retten willst
Ach du Himmel, die Flüssigkeit ist nicht im Kelch.
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