Beweis Abweichung Taylorpolynom

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

 ƒ(x) = e^xcos(x)

Zu zeigen ist die folgende Abschätzung:

\( \left|f(x)-T_{3,0}^{f}(x)\right| \leq \frac{e}{6} x^{4} \quad \forall x \in[-1,1] \)

Ansatz:

das heisst die Abweichung der Funktion zu ihrem Tailorpolynom 3. Grades ist zwischen -1 und 1 kleiner gleich  \( \frac{e}{6} \)x⁴

Das Tailorpolynom habe ich bereits berechnet: T(x) = 1 + x - \( \frac{1}{3} \)x³ 

Dann müsste ich nur noch zeigen dass |e^xcos(x) - 1 - x + \( \frac{1}{3} \)x³ | ≤  \( \frac{e}{6} \)x⁴

Aber irgendwie komme ich da nicht weiter...

Answer 1

Wir werden den Lagrange-Fehlerterm der Taylorapproximation verwenden, es ist schliesslich
\(\begin{aligned} f(x)=T_{3,0}^{f}(x)+\frac{f^{(4)}(0)}{4 !} \cdot x^{4}\end{aligned} \)
womit sich in deinem Fall (wegen \( x \in[-1,1] \) )
\( \begin{aligned} \left|f(x)-T_{3,0}^{f}(x)\right|=\left|\frac{f^{(4)}(0)}{4 !} x^{4}\right| &=\left|-\frac{2 e^{x}}{4 !}(\sin (x)+\cos (x)) \cdot x^{4}\right| \\ & \leq\left|\frac{e^{x}}{12} \cdot 2 \cdot x^{4}\right| =\frac{e^{x}}{6} \cdot x^{4} \end{aligned} \)
ergibt. Hier haben wir verwendet, dass \( e^{x} \leq e, x \in[-1,1] \) und \( \sin (x), \cos (x) \leq 1 \).

Comments

ou ja das macht sinn. Der Lagrange-Rest ist die Differenz der beiden Funktionen. Das macht die Abschätzung viel einfacher.

Danke :)