Arithmetik und Algebra, Teilerzahl, Diophantische Gleichungen

Question

Hallo ihr Lieben,

ich habe große Probleme bei Mathe, muss allerdings folgende Aufgaben lösen.

Ich hoffe wirklich sehr, dass mir jemand helfen kann.

LG :)

Aufgabe 1 
a) Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 11 als größten Primfaktor?
b) Gibt es eine Zahl mit (i) genau 40, (ii) genau 50 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten.
c) Bestimmen Sie die kanonischen Primfaktorzerlegungen von
(i) 10! , (ii) 33³³ (iii) 3584(hoch 12)
.
d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl
19(hoch10)* 10! *8575 *3584? (Begründung!)

Aufgabe 2 
An einer Bushaltestelle halten Busse der Linien 1 und 2. Um 12.00 Uhr starten zwei Busse
beider Linien. Die Fahrzeuge von Linie 1 erreichen danach alle 18 Minuten die Haltestelle,
die der Linie 2 alle 33 Minuten. Um wie viel Uhr erreichen erstmals wieder zwei Busse gemeinsam die Haltestelle?

Aufgabe 3 
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Diophantischen Gleichungen:
a) 532x + 272y = 26; b) 532x + 272y = 28.

Aufgabe 4 
Sie haben 2104,- Euro und möchten diesen Betrag für x Teile von Artikel A (Stückpreis 56,-
Euro) und y Teile von Artikel B (Stückpreis 128,- Euro) ausgeben. Ist dies möglich? Wenn ja,
welche Möglichkeit(en) gibt es?

Ich wäre jeder Hilfe super dankbar! :)

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Bitte Geduld und dann Mitarbeit bei Anregungen, du willst ja Hilfe und nicht einfach das Lösungsbuch abschreiben. Das nächste Mal https://www.mathelounge.de/schreibregeln beachten. D.h. eine Frage pro Frage, wenn die Fragen keinen direkten Zusammenhang haben.

Nun (nach dem Lesen der Schreibregeln) erst mal: Hast du bei einer deiner Fragen schon einen Ansatz?

Answer 1

Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 11 als größten Primfaktor?

Einfachster Fall ist 11^8 = 214358881

Wenn es außer 11 noch einen Primfaktor gibt,

müssen beide in der Primfaktorzerlegung den

Exponenten 2 haben; denn 3*3 = 9

Ist außer 1*9 die einzige Produktdarstellung der 9

Also können es sein

2^2*11^2 =484

3^2*11^2=1089

5^2*11^2=3025

7^2*11^2=5929

Gibt es eine Zahl mit (i) genau 40, (ii) genau 50 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Die Primteiler seine a,b,c,d alle verschieden.

Wenn die Zahl die Primfaktorzerlegung \(  a^m \cdot b^n\cdot c^p\cdot b^q \) hat,

dann muss also (m+1)*(n+1)*(p+1)*(q+1) = 40 sein.

Das geht 2*2*2*5, also z.B. m=1 n=1 p=1 und q=4.

Bei 50 geht es nicht, weil es keine 4 Faktoren größer 1 gibt,

deren Produkt 50 ist.

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Vielen lieben Dank! :)

Answer 2

d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl
19¹⁰* 10! *8575 *3584? (Begründung!)

Ziehe alle Faktoren 5 und alle Faktoren 2 aus jedem Faktor von 1910* 10! *8575 *3584 heraus. Für jedes Paar (5|2) ergibt sich im Produkt genau eine 0.

19¹⁰ hat keine 5 und keine 2 als Faktor,

10! hat 8 Zweien und 2 Fünfen also 2 Paare (5|2).

8575*3584 hat 9 Zweien und 2 Fünfen also 2 Paare (5|2).

Insgesamt 4 Paare entsprechen 4 Nullen im Produkt.

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Vielen herzlichen Dank! :)