Aufgabe zur Binomialverteilung mit Kugeln

Question

Aufgabe:

Urne mit 15 weißen und 15 schwarzen Kugeln, es wird 50× gezogen (Mit Zurücklegen)

a) E1: Wslk. genau 25 weiße Kugeln

b) E2: mehr weiße als schwarze

c) E3: die ersten 10 Kugeln sind weiß

d) E4: die letzten 10 Kugeln sind weiß

e) E5: höchstens 25 weiße Kugeln

f) E6: mindestens 25 weiße Kugeln

Problem/Ansatz:

Hallo steh grade mit der Binomialverteilung auf dem Schlauch (länger nicht mehr gemacht)

Bin bereits an der a) wg fehlender Routine gescheitert, aber b-d habe ich gar keine Ahnung, könnte jemand anhand eines Beispiels mir es zeigen, zum wieder reinkommen?

Answer 1

Ein Bernoulliexperiment (d.h. ein Experiment mit den zwei Ergebnissen Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit \(p\)) und Misserfolg) wird \(n\) mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Zufallsgräße \(X\) bezeichne die Anzahl der Erfolge.

Dann beträgt die Warscheinlichkeit für genau \(k\) Erfolge

        \(P(X=k) = {n\choose k}\cdot p^k (1-p)^{n-k}\).

Urne mit 15 weißen und 15 schwarzen Kugeln, es wird 50× gezogen (Mit Zurücklegen)

\(p=\frac{15}{15+15}\)

\(n=50\)

a) E1: Wslk. genau 25 weiße Kugeln

\(k=25\)

Einsetzenausrechnenfertig.

e) E5: höchstens 25 weiße Kugeln

        \(P(X\leq 25) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + \ldots + P(X=25)\)

Einsetzenausrechnenfertig.

Weil das recht aufwendig ist, haben Taschenrechner eine Funktion eingabaut, die das für dich übernimmt. Die findest du in der Bedienungsanleitung unter dem Stichwort kumulierte Binomialverteilung.

c) E3: die ersten 10 Kugeln sind weiß

Zehnstufiges Baumdiagramm. In diesem gibt es nur einen einzigen Pfad, in dem alle Kugeln weiß sind.

Comments

Bei der a) käme dann 1,123×10^-15 raus?Weil aus n über k wird doch 1,2641...

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aus n über k wird doch 1,2641...

Der Binomialkoeffizient \(n\choose k\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer \(n\)-elementigen Menge \(k\) Elemente auszuwählen.

Die Anzahl der Möglichkeiten ist eine natürliche Zahl, kann also nicht 1,2641... sein.

Formel zur 'Berechnung:

        \({n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Beispiel:

        \({7\choose 3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35\)

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Sowohl der Taschenrechner als auch die Stochastik Tabelle spucken aber nichts anderes als 1,2641... aus

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In welcher Stochastiktabelle hast du den Wert \(50 \choose 25\) nachgeschaut? Und wie hast du \(50 \choose 25\) mit welchem Taschenrechnermodell berechnet?