Eine Ellipse hat den Hauptscheitel A\((3\sqrt{2}|0)\) und führt durch den Punkt P\((3|2)\).
1) Bestimme die Gleichung der Ellipse und die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel, die ebenfalls durch den Punkt P führt.
\(e: \frac{x^2}{(3\sqrt{2})^{2}}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)
\(e: \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)
P\((3|2)\)
\( \frac{9}{18}+\frac{4}{b^2}=1 \)→\( 0,5+\frac{4}{b^2}=1 \)
\( \frac{4}{b^2}=0,5 \)
\( b^2=8 \)
\(e: \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1 \)
gleichseitige Hyperbel:
\(h: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\)
\(h: x^2-y^2=a^2\)
P\((3|2)\) \( a^2=5\)
\(h: x^2-y^2=5\)
2) Die Asymptoten der Hyperbel schließen mit der Tangente im Punkt P \((3|2)\)an die Hyperbel ein Dreieck ein. Berechne dessen Flächeninhalt.
Bei einer gleichseitige Hyperbel müssen die Asymptoten senkrecht aufeinander stehen:
\(y=x\) und \(y=-x\)
Tangente an die Hyperbel im Punkt P\((3|2)\)
\(h: x^2-y^2=5\) muss nun nach \(y\) aufgelöst und abgeleitet werden.
\(y=±\sqrt{x^2-5}\)
Hier benötigt man nur den positiven Teil wegen P\((\red{3}|2)\)
\(y=\sqrt{x^2-5}\) → \(y'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-5}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-5}}\)
\(y'(\red{3})=\frac{3}{\sqrt{9-5}}=1,5\)
Für die Tangente verwende ich die Punkt-Steigungsform der Geraden.
\( \frac{y-2}{x-3}=1,5 \)
\( y=1,5(x-3)+2=1,5x-2,5 \) Schnitt mit den beiden Asymptoten:
1.) \(1,5x-2,5=x \) \(x=5 \) \(y=5 \) A\((5|5)\)
2.) \(1,5x-2,5=-x \) \(x=1 \) \(y=-1 \) B\((1|-1)\)
Fläche des rechtwinkligen Dreiecks
\(\overline{AM}= \sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2} \)
\(\overline{BM}= \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \)
\(A=0,5 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=5 \)FE
