In einem Würfel mit Kantenlänge 1m ist ein weiterer Würfel mit 9/10 der Kantenlänge des vorherigen Würfels.

Question

Sie bekommen zu Weihnachten ein Geschenk, welches in einem Würfel mit einer Kantenlänge 1 m verpackt ist. Jedes mal, wenn Sie das Geschenk ausgepackt haben, kommt ein neues würfelförmiges Geschenk hervor. Das neue Geschenk hat eine Kantenlänge von 9/10 der Kantenlänge des vorherigen Geschenkes. Die Zeit t_n (in Minuten) zum Auspacken des n-ten Würfels hängt von der Oberfläche o_n dieses Würfels ab, also von der Fläche des genutzten Geschenkpapiers. Dabei gilt t_n =19/60 · o_n. Benutzen Sie die folgende Bezeichnung: Für n ∈ N0 sei a_n ist die Kantenlänge des n-ten Würfels. Dabei ist a₀ die Kantenlänge 1 m des Startwürfels.

(a) Wie hoch ist der Turm aus allen Geschenkewürfeln, falls man diese übereinander stapelt?
(b) Kann man alle würfelförmigen Geschenke in endlicher Zeit auspacken? Begründen Sie!

Answer 1

Die Höhe des Turms aus allen Geschenkewürfeln, falls man diese übereinander stapelt kann 10 m nicht überschreiten. Summe einer unendlichen geometrischen Reihe.

Comments

Wie genau sieht die Reihe aus?

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\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{0.9^n} \)