Darstellungsmatrizen Af,X,X , Af,X,Y , Af,Y,X und Af,Y,Y

Question

Im R3 seien die Basen
X = ((1,−1,2),(2,3,7),(2,3,6)) und Y = ((1,2,−1),(−2,−5,2),(3,10,−2)) 
gegeben. Weiter sei f : R3 → R3 die durch
y1 → 5y1+5y2,

y2 → −5y1 +5y3

y3 → 5y2 +5y3
definierte lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen Af,X,X , Af,X,Y ,
Af,Y,X und Af,Y,Y.

(1,2,-1)=y1 , (-2,-5,2)=y2 , (3,10,-2)=y3

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da die Koordinaten der Basisvektoren von \(X\) und \(Y\) bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben sind, können wir die Basiswechsel-Matrizen von \(X\) nach \(S\) bzw. von \(Y\) nach \(S\) direkt angeben:$${_S}\mathbf{id}_X=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_Y=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3\\2 & -5 & 10\\-1 & 2 & -2\end{array}\right)$$

Die Abbildungsmatrix \(A\) bezüglich der Eingangs- und Ausgangsbasis \(Y\) erhalten wir, wenn wir die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix eintragen:$${_Y}\mathbf A_Y=\left(\begin{array}{rrr}5 & -5 & 0\\5 & 0 & 5\\0 & 5 & 5\end{array}\right)$$

Daraus ergeben sich nun alle gesuchten Matrizen:$${_Y}\mathbf A_X={_Y}\mathbf A_Y\cdot {_Y}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_X={_Y}\mathbf A_Y\cdot \left({_S}\mathbf{id}_Y\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_X=\left(\begin{array}{rrr}35 & 60 & 55\\125 & 290 & 260\\90 & 230 & 205\end{array}\right)$$$${_X}\mathbf A_Y={_X}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_Y\cdot{_Y}\mathbf A_Y=\left({_S}\mathbf{id}_X\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_Y\cdot{_Y}\mathbf A_Y=\left(\begin{array}{rrr}3 & -10 & -7\\23 & -45 & -22\\-27 & 55 & 28\end{array}\right)$$$${_X}\mathbf A_X={_X}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_Y\cdot{_Y}\mathbf A_X=\left({_S}\mathbf{id}_X\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_Y\cdot{_Y}\mathbf A_X=\left(\begin{array}{rrr}-105 & -286 & -254\\-235 & -736 & -649\\315 & 964 & 851\end{array}\right)$$

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