Grenzwert einer geometrischen Reihe

Question

Aufgabe:

\( \LARGE \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}} \)

Problem/Ansatz:

Hallo ich muss den Grenzwert dieser Reihe berechnen. Ich kenne die allgemeine Formel zu der Berechnung von Grenzwerten also 1/1-q wenn |q|<1. Allerdings kann man diese Formel ja nur anwenden wenn die Reihe bei 0 beginnt. Diese beginnt allerdings bei 1. Wie berechnet man nun diesen Grenzwert?

LG

Comments

Also müsste ich dann (1/8)^0 rechnen und dann halt von der Formel abziehen. Hier also -1, weil alles hoch 0, 1 ergibt?

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Nein, du musst 7/8⁰ subtrahieren.

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Man kann auch gleich mit a0 = 7*(1/8)^1 rechnen.

Es geht direkt ohne Indexverschiebung und Subtraktion.

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Damit hast du dem FS sehr geholfen!!!

Answer 1

Aloha :)

Addiere eine sogenannte "nahrhafte Null":

$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}+\overbrace{\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^0}}^{=0}=\left(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}\right)-\frac{7}{8^0}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{7}{8^k}-7=7\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^k-7$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}}=7\cdot\frac{1}{1-\frac18}-7=7\cdot\frac{1}{\frac78}-7=7\cdot\frac87-7=8-7=1$$

Comments

Kurze frage sagen wir das Glied würde bei k=3 beginnen. Müsste ich dann alle vorherigen Glieder also hoch 0-3 auch abziehen?

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Ja, selbstverständlich. Warum fragst du?

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Wenn die Summe bei 3 beginen würde, sähe das so aus:

$$\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}+\frac{7}{8^1}+\frac{7}{8^2}-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}}=\left(\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}+\frac{7}{8^1}+\frac{7}{8^2}\right)-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{7}{8^k}-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}$$

Answer 2

Wenn das erste Glied fehlt, muss man mit deiner Formel rechnen und das erste Glied subtrahieren.

Answer 3

7 vor die Summe ziehen.

7*∑ 1/8^k (1 bis oo) = 7* (1/8)/(1-1/8) = 7* 1/8* 8/7 = 1