Determinate einer Komposition

Question

Sein f, g zwei Endomorphismen V->V. Wie kann ich zeigen, dass det(f∘g)=det(f)*det(g) gilt?

Answer 1

(1) Determinantenmultiplikationssatz

Sind \(A,B\in R^{n\times n}\), dann gilt \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)

(2) Für \(f\in \operatorname{End}(V)\) gibt es eine Darstellungsmatrix \(_B M_B(f)\) von \(f\) bzgl. einer geordneten Basis \(B\) von \(V\). Man erklärt die Determinante von \(f\) dann als \(\det(f)=\det(_BM_{B}(f))\).

Es gilt dann..

\( \begin{aligned} \operatorname{det}(f\circ g) &=\operatorname{det}\left(_{B} \boldsymbol{M}(f \circ g)_{B}\right) \\ &=\operatorname{det}\left(_{B} \boldsymbol{M}(f)_{B}{ }_{B} \boldsymbol{M}(g)_{B}\right) \\ &=\operatorname{det}\left({ }_{B} \boldsymbol{M}(f)_{B}\right) \operatorname{det}\left({ }_{B} \boldsymbol{M}(g)_{B}\right) \\ &=\operatorname{det}(f) \operatorname{det}(g) . \end{aligned} \)