Aus dem Additionstheorem
(1) \(\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
bekommt man mittels Einsetzen von \(\beta = \alpha\) und Umformen unter Verwendung des trigonmetrischen Pythagoras \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) die Gleichung
\(\cos\left(2\alpha\right)=2\cos^{2}\alpha-1\),
welche weiter umngeformt werden kann zu
\(\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha\right)+1\right)}\)
und schließlich zu
(3) \(\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos\alpha+1\right)}\).
Mit dieser Formel kann der Kosinus des halben Winkels berechnet werden, wenn der Kosinus eines Winkels bekannt ist.
Mittels ähnlicher Umformungen bekommt man aus \(\beta=2\alpha\) unter Verwendung von (1) eine Formel
(4) \(\cos\frac{\alpha}{3}=\dots\)
mit der man den Kosinus eines drittels eines Winkels berechnen kann. Nach dem selben Prinzip findet man eine Formel
(5) \(\cos\frac{\alpha}{5} = \dots\)
für den Kosinus eines Fünftel eines Winkels.
den Wert von sin 42°22' finden?
Bekanntermaßen ist
(6) \(\cos 45° = \frac{1}{\sqrt 2}\).
Dabei ist \(45° = 2700'\). Das sind \(2^23^35^2\) Bogenminuten. Mittels (3), (4) und (5) berechnet man aus (6) den Wert von \(\cos 1'\). Mittels (1) bastelt man daraus den Wert von \(\cos 42°22'\). Ergebnis ist ein Term, in dem nur noch natürliche Zahlen, Grundrechenarten und Wurzeln vorkommen.
