für welche x konvergiert die Reihe P(x)?

Question

Text erkannt:

Untersuchen Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die folgende Reihe konvergiert:
\( P(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} x^{n} \)

Aufgabe:

Answer 1

Die Reihe ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0.

Sie konvergiert also für \(x\in (0-r, 0+r)\) und divergiert für \(x\in \mathbb{R}\setminus[0-r,0+r]\). Die Zahl \(r\) heißt Konvergenzradius.

Den Konvergenzradius bestimmt man zum Beispiel mit der Formel von Cauchy-Hadarmard.

Die Ränder des Konvergenzintervalls werden gesondert betrachtet.

Answer 2

1/3^n*x^n = (x/3)^n

Es muss gelten: |x/3| < 1 -> |x| <3

Comments

Hallo !
Es fehlt noch eine Begründung, warum |x|=3 Divergenz liefert.
LG ermanus