Beweis Konvergenz Funktionenfolge cos(x+1/n^2) konvergiert gegen cos(x)

Question

Aufgabe:

$$ f_{n}(x) = cos(x + \frac{1}{n^2}) $$

Problem:

Also mir ist klar das $$ \frac{1}{n^2} $$ gegen 0 geht. und damit die Funktionenfolge gegen $$ cos(x) $$ konvergieren muss. Aber wie kann ich das mathematisch korrekt beweisen?

Answer 1

Aloha :)

Verwende das Additionstheoreme für die Cosinus-Funktion:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\cos\left(x+\frac{1}{n^2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos(x)\cdot\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)-\sin(x)\cdot\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$$$$\qquad=\cos(x)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)-\sin(x)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)$$$$\qquad=\cos(x)\cdot\underbrace{\cos(0)}_{=1}-\sin(x)\cdot\underbrace{\sin(0)}_{=0}=\cos(x)$$

Answer 2

Hallo

eigentlich reicht es dass 1/n^2 gegen 0 geht und dass cos(x) stetig ist, (Folgenstetigkeit)

Wenn du einen N,ε Beweis willst musst du wohl das Additionstheorem benutzen und sin(x)<x für x>0