Relation a ≡ b (mod n) ⇔ n|b−a auf der Menge ℤ Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Relation a ≡ b (mod n)  ⇔  n|b−a auf der Menge ℤ eine Äquivalenzrelation ist.

Ich weiß, dass ich hier die Reflexivität, Transität und Symmetrie zeigen muss. Habe leider nur überhaupt keine Idee wie ich das hier machen soll.

Comments

Was musst du denn zeigen bei der Reflexivität?

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Offtopic: UPB? :D

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Jap, sieht wohl so aus :D

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Ich bin mir gerade selber nicht sicher, ob ich überhaupt Reflexivität zeigen muss. Haben Sie eine Idee für Transität und Symmetrie?

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Klar musst du das zeigen.

Tipp zur Symmetrie: du musst zeigen, wenn b-a durch n

teilbar ist, dass dann auch a-b durch n teilbar ist.

Answer 1

Sei n∈ℤ Reflexivität: Zu zeigen: Für jedes x∈ℤ gilt a≡ a (mod n)

Nach der Def. heißt das n|a-a. Da a-a=0 und 0 durch jede Zahl

teilbar ist, ist das erfüllt.

Transitiviät :Wenn a≡ b (mod n) und  b≡ c (mod n)

 dann auch a≡ c (mod n)

Seien also a,b,c ∈ℤ mit a≡ b (mod n) und b≡ c (mod n)

==>            n|b-a     und    n|c-b.

Wenn n zwei Zahlen teilt, dann auch deren Summe.

Diese ist c-a, also    a≡ c (mod n)

und Symmetrie: s. Kommentar