Reihen. Radsportler steigert sein Trainingsprogramm täglich um 5 Kilometer. Am 17. Tag fährt er...

Question

bei einer Textaufgabe ist folgendes gegeben:

-Ein Radsportler steigert sein Trainingsprogramm täglich um 5 Kilometer. Am 17. Tag fährt er somit genau die doppelte Strecke wie am 5. Tag. Am Ende seiner Vorbereitungszeit hat er 2035km auf seinem Tacho.
Und gefragt wird:

Wie viel km ist er am 1. Tag gefahren und wie viele Tage hat der Sportler trainiert?



Lg

Answer 1

Nun, die rekursive Definition der Folge ( a ) _n die seine Fahrleistung am Tag n beschreibt, ist:

a₁ = x
a _n+1 =  a_n+ 5

Daraus ergibt sich die explizite Form:

a _n =  x + ( n - 1 ) * 5

Am 17. Tag fährt er doppelt so weit wie am 5. Tag, also gilt:

$$a_{ 17 }=2*a_{ 5 }$$$$\Leftrightarrow x+16*5=2*(x+4*5)$$$$\Leftrightarrow x+80=2x+40$$$$\Leftrightarrow x=40$$

Am ersten Tag fuhr er also 40 km weit.

Somit lautet die Folge in vollständiger expliziter Darstellung:

a₁ = 40
a _n+1 =  a_n+ 5

Insgesamt fuhr er 2035 km weit, also:

$$\sum _{ t=1 }^{ n }{ a_{ t }= } 2035$$$$\Leftrightarrow \sum _{ t=1 }^{ n }{ 40+(t-1)*5= } \sum _{ t=1 }^{ n }{ 35+5t }$$$$=n*35+5*\sum _{ t=1 }^{ n }{ t }$$$$=n*35+5*n*(n+1)/2=2035$$$$\Leftrightarrow n*35+2,5*n^{ 2 }+2,5n=2035$$$$\Leftrightarrow 2,5*n^{ 2 }+37,5n=2035$$$$\Leftrightarrow n^{ 2 }+15n=814$$$$\Leftrightarrow n^{ 2 }+15n+7,5^{ 2 }=814+7,5^{ 2 }=870,25$$$$\Leftrightarrow (n+7,5)^{ 2 }=870,25$$$$\Rightarrow n+7,5=\sqrt { 870,25 } =29,5$$$$\Leftrightarrow n=29,5-7,5=22$$

Das Treiningsprogramm dauerte also n = 22 Tage.

Comments

Ich sehe gerade noch einen kleinen Fehler:

Ich schrieb:

Somit lautet die Folge in vollständiger expliziter Darstellung: ...

und habe dann die rekursive Form hingeschrieben ...

Hier also die vollständige explizite Darstellung der Folge:

a_n = 40 + 5 * ( n - 1 )

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deine Rechnung nür die km am ersten Tag kann ich nachvollziehen.

Aber die 2. Rechnung zum ermitteln der 22 Tage verstehe ich nicht.

Du stellst oben etwas gleich, richtig? Aber wie leitest du daraus die Formel her?

In dem Lösungsweg machst du aus n²+15n = 814 im nächsten Schritt n²+15n+7,5² = 814+7,5²= 870,25.

Wo kommen die 7,5² her?

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Du stellst oben etwas gleich, richtig? Aber wie leitest du daraus die Formel her?

Du meinst vermutlich diese Stelle:

$$\sum _{ t=1 }^{ n }{ a_{ t }= } 2035$$

Hier wird die Anzahl der Kilometer über die n Trainingstage aufsummiert. Diese Anzahl ist laut Aufgabenstellung 2035.

Im nächsten Schritt löse ich die Summe in Form einer Gleichungskette nach und nach auf. Statt der Gleichungskette hätte ich auch lauter Äquivalenzumformungen hinschreiben können. Das mache ich jetzt hier mal so (und in ganz kleinen Schritten), vielleicht verstehst du es dann besser:

$$\Leftrightarrow \sum _{ t=1 }^{ n }{ 40+(t-1)*5= } 2035$$$$\Leftrightarrow \sum _{ t=1 }^{ n }{ 35+5t } =2035$$$$\Leftrightarrow \sum _{ t=1 }^{ n }{ 35 } +\sum _{ t=1 }^{ n }{ 5t } =2035$$In der ersten Summe wird n * die Zahl 35 addiert, also hat sie den Wert n * 35$$\Leftrightarrow n*35+\sum _{ t=1 }^{ n }{ 5t } =2035$$$$\Leftrightarrow n*35+5\sum _{ t=1 }^{ n }{ t } =2035$$In der Summe werden die ersten n natürlichen Zahlen aufsummiert. Für den Wert dieser Summe gibt es eine Formel, nämlich die gaußsche Summenformel, gern auch "kleiner Gauß" genannt. Die Summe wird im nächsten Schritt also durch diese Formel ersetzt:$$\Leftrightarrow n*35+5\frac { n(n+1) }{ 2 } =2035$$$$\Leftrightarrow n*35+2,5n^{ 2 }+2,5n=2035$$$$\Leftrightarrow 2,5n^{ 2 }+37,5n=2035$$$$\Leftrightarrow n^{ 2 }+15n=814$$

Wo kommen die 7,5² her?

Diese quadratische Gleichung ist nun zu lösen. Dazu könnte man z.b. die pq-Formel verwenden, ich mache es hier aber "zu Fuß", indem ich auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addiere. Die quadratische Ergänzung ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes, vorliegend also ( 15 / 2 ) ² = 7,5 ² . So erklärt sich auch die Herkunft dieser Zahl.
Indem man die quadratische Ergänzung nun auf beiden Seiten addiert, erhält man auf der linken Seite einen Term, den man mit Hilfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben kann.
Den Rest solltest du verstanden haben ... oder?