Aloha :)
zu 1) Wir sollen die DGL$$y'(x)+y(x)=2$$allgemein lösen. Da mit \(y_s(x)=2\) eine spezielle Lösung offensichtlich ist, brauchen wir zu dieser Lösung nur noch die Lösung des homogenen Systems zu addieren:$$y'(x)+y(x)=0\implies y'(x)=-y(x)\implies\frac{y'(x)}{y(x)}=-1$$Das integrieren wir nun zur homogenen Lösung:$$\ln|y(x)|=-x+C_1\implies y(x)=e^{-x+C_1}=e^{-x}\cdot e^{C_1}$$Setzen wir noch \(C\coloneqq e^{C_1}\) können wir die allgemeine Lösung formulieren:$$y(x)=C\cdot e^{-x}+2$$Bei der Grenzwert-Berechnung hast du 2-mal denselben Grenzwert hingeschrieben:$$\lim\limits_{x\to\infty}y(x)=2$$
zu 2) Die Konstante \(C\) muss so gewählt werden, dass \(y(1)=0\) gilt:$$0\stackrel!=y(1)=C\cdot e^{-1}+2=\frac{C}{e}+2\implies C=-2e\implies$$$$y_{awa}(x)=-2e^{1-x}+2=2\left(1-e^{1-x}\right)$$
Wir benötigen die beiden ersten Ableitungen:$$y'_{awa}(x)=2e^{1-x}>0\quad\implies\quad\text{streng monoton wachsend}$$$$y''_{awa}(x)=-2e^{1-x}<0\quad\implies\quad\text{konkav}$$
~plot~ 2*(1-e^(1-x)) ; [[0|5|-3,5|2,5]] ~plot~
