Extremwertaufgabe bei quadratischen Funktionen

Question

Liebe Forum-Mitglieder,

Aufgabe:

Lara möchte aus einem 5m langen und 0,4m breiten Brett entsprechend der Abbildung ein Regal mit maximalem Volumen bauen. Die Materialdicke wird dabei vernachlässigt. Bestimme die Maße des Regals.

Problem/Ansatz:

1. Hauptbedingung: V(x,y) = x² * y

2. Nebenbedingung: O = x³ * 3 + 2xy = 5*0,4 → y = (2-3x^2)/2x

3. Zielfunktion: V(x) = x² * (2-3x^2)/2x

4. Extremstellen (wir haben noch keine Ableitung gelernt):

V(x) = 0

x² * (2-3x^2)/2x = 0

x_1 = 0, x_2 = √((2)/3), x_3 = - √((2)/3)

0 und - √((2)/3) würden außerhalb des Definitionsbereichs liegen, sodass nur x_2 als Antwort übrig bleibt:

x = √((2)/3)

y = 0

Aber dieses Ergebnis ergibt keinen Sinn. Habe ich die Aufgabe falsch verstanden oder mich verrechnet?

Viele Grüße,

Orbi

                                               

Answer 1

Hallo Orby,

ich habe die Aufgabe so verstanden, dass die Tiefe des Regals der Breite des Brettes = 0,4 m entspricht.

Dann ist das Volumen \(V=x\cdot y\cdot 0,4\)

Die Nebendingung ist die Aufteilung der Länge des Brettes = 5 m

3x + 2y = 5 ⇒ \(y=2,5-1,5x\)

Eingesetzt in die Volumenformel ergibt das

\(V=x\cdot(2,5-1,5x)\cdot 0,4\\ = -0,6x^2+x\)

Maximum = Hochpunkt = Scheitelpunkt

Mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung folgt daraus die Scheitelpunktform der Parabel:

\(V=-0,6(x-\frac{5}{6})^2+\frac{5}{12}\)

Damit ist x = \( \frac{5}{6} \) und y = \( \frac{5}{4} \)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Sorry, hatte einen ähnlichen Ansatz wie Silvia, die es schon richtig gelöst hatte. Antwort zurückgezogen.