Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Funktion f(x_1,x_2)

Question

Bestimmen Sie die partielle Ableitung f'1(x1,x2) der Funktion f(x1,x2) = x1^6*ln(x2^3/x2^5+x1^5)

an der Stelle a=(1.63, 1.71)

Wie leite ich hier partiell nach x1 ab wenn ich ln gegeben habe?

Answer 1

Aloha :)

Zur partiellen Ableitung der Funkion$$f(x;y)=x^6\cdot\ln\left(\frac{y^3}{y^5+x^5}\right)$$nach \(x\) brauchst du Produktregel und die Kettenregel zweimal ineinander verschachtelt:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\underbrace{x^6}_{=u}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac{y^3}{y^5+x^5}\right)}_{=v}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\underbrace{x^6}_{=u}\cdot\underbrace{\ln\left(y^3\cdot(y^5+x^5)^{-1}\right)}_{=v}\right)$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}}=\underbrace{6x^5}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac{y^3}{y^5+x^5}\right)}_{=v}+\underbrace{x^6}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\frac{y^3}{y^5+x^5}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\underbrace{(-y^3(y^5+x^5)^{-2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{5x^4}_{\text{innere Abl. }}}^{\text{innere Abl. \(\left(y^3(y^5+x^5)^{-1}\right)'\)}}}_{=v'}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}}=6x^5\cdot\ln\left(\frac{y^3}{y^5+x^5}\right)-\frac{y^5+x^5}{y^3}\,\frac{5x^{10}y^3}{(y^5+x^5)^2}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}}=6x^5\cdot\ln\left(\frac{y^3}{y^5+x^5}\right)-\frac{5x^{10}}{y^5+x^5}$$

Die partielle Ableitung nach \(y\) ist auch etwas fummelig. Wir kombinieren dazu die Ketten- und die Quotientenregel:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^6\frac{\partial}{\partial y}\ln\left(\frac{\overbrace{y^3}^{=u}}{\underbrace{y^5+x^5}_{=v}}\right)=x^6\underbrace{\frac{1}{\frac{y^3}{y^5+x^5}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{\overbrace{3y^2}^{=u'}\,\overbrace{(y^5+x^5)}^{=v}-\overbrace{y^3}^{=u}\,\overbrace{5y^4}^{=v'}}{\underbrace{(y^5+x^5)^2}_{=v^2}}}_{\text{innere Abl.}}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial y}}=x^6\cdot\frac{y^5+x^5}{y^3}\cdot\frac{3y^2x^5-2y^7}{(y^5+x^5)^2}=\frac{3x^{11}-2x^6y^5}{y(y^5+x^5)}$$

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x, y)=x^{6} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right) \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=6 x^{5} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right)+x^{6} \cdot \frac{1}{\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}} \cdot \frac{0 \cdot\left(y^{5}+x^{5}\right)-y^{3} \cdot 5 x^{4}}{\left(y^{5}+x^{5}\right)^{2}} \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=6 x^{5} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right)-x^{6} \cdot \frac{y^{5}+x^{5}}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3} \cdot 5 x^{4}}{\left(y^{5}+x^{5}\right)^{2}} \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=6 x^{5} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right)-\frac{x^{6}}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3} \cdot 5 x^{4}}{y^{5}+x^{5}} \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=6 x^{5} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right)-x^{6} \cdot \frac{5 x^{4}}{y^{5}+x^{5}} \)
\( \frac{d x}{d x}=6 x^{5} \cdot \ln \left(\frac{y^{3}}{y^{5}+x^{5}}\right)-\frac{5 x^{10}}{y^{5}+x^{5}} \)