Aloha :)
$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\cdot x^n$$Ich würde dir Cauchy-Hadamard empfehlen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^n}\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac12}=2$$Für \(|x|<2\) konvergiert die Reihe also sicher.
Du musst noch die "Ränder" \(x=\pm2\) untersuchen...
Für \(x=2\) divergiert die Summe, denn:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty1\to\infty$$
Für \(x=-2\) divergiert die Summe ebenfalls:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\quad\text{divergent}$$