Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R,:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{2^n}} \),

wie soll ich hier den Konvergenzradius berechnen ?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\cdot x^n$$Ich würde dir Cauchy-Hadamard empfehlen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^n}\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac12}=2$$Für \(|x|<2\) konvergiert die Reihe also sicher.

Du musst noch die "Ränder" \(x=\pm2\) untersuchen...

Für \(x=2\) divergiert die Summe, denn:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty1\to\infty$$

Für \(x=-2\) divergiert die Summe ebenfalls:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\quad\text{divergent}$$

Comments

und fuer x > 2 ist auch divergent oder ?

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Ja klar, mit Cauchy-Hadamard bekommst du das offene Konvergenzintervall. In diesem Fall \(x\in(-2|2)\). Es könnte noch Konvergenz an den Rändern herrschen, also für \(x=\pm2\). Das haben wir geprüft. Für \(|x|>2\) liegt sicher Divergenz vor.