Aufgabe: Vollständige Untersuchung einer ganzrationalen Funktion
ich bereite mich selbständig auf mein Externenabitur vor und habe dementsprechend Fragen bezüglich Mathe. Ich habe folgendes "Rezept" bekommen, mit dessen Hilfe ich eine jede Funktion vollständig untersuchen soll. Mathe war für mich schon immer ein Buch mit sieben Siegeln, obwohl ich mich für Zahlen interessiert habe und auch versucht habe, Mathe nicht nur auswendig zu lernen, sondern zu verstehen. Mir fällt es schwer, "neue" Aufgaben zu lösen und ich weiß nie so recht, wie ich mein Wissen anwenden muss. Ich lerne quasi nur vorgefertigt bestimmte Schemata von Aufgabentypen auswendig und hoffe, dass sie in den Prüfungen vorkommen, was natürlich keine gute Strategie ist. Da ich keinen Lehrer habe, müsst ihr herhalten, auch wenn meine Fragen ziemlich lächerlich und selbstverständlich für euch sind. Je simpler die Antworten, desto besser.
1.Bestimmung der Definitionsmenge
- Ziemlich simpel, meistens D=R, außer bei gebrochenrationalen Funktionen, da man nicht durch 0 teilen darf und es dürfen keine negativen Zahlen unter Wurzeln sein.
2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine Werte und sehr große X-Werte
- auch ziemlich einfach, ich berechne hierzu einfach den Limes mit x für +Unendlich und x für -Unendlich.
3. Bestimmung der Symmetrie, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrische zum Ursprung ist (oder ob andere Aussagen zur Symmetrie gemacht werden können).
- hier habe ich große Probleme. Sagen wir, wir haben f(x)=x^4-2x^2. Da hier alle Exponenten geradzahlig sind, ist diese Funktion y-Achsensymmetrisch. Aber wie sieht es aus, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen oder sie gemischt auftreten? Hängt die Symmetrie auch von der höchsten Potenz ab, oder ist sie für die Symmetrie nicht wichtig?
4. Bestimmung der Nullstellen (mit oder ohne VZW)
- auch hier habe ich große Probleme. Soweit ich weiß setze ich die Funktion gleich Null und löse sie auf. Setzte ich f(x)=x^4-2x^2 gleich 0, so habe ich X^2=2 bzw x1=Wurzel2 und x2=-Wurzel2. Aber wenn ich die Formel zu x^2(x^2-2) umforme, habe ich zusätzlich noch x=0 als Nullstelle. Ich weiß quasi nicht, wie ich die Funktion nullstellen soll. Zusätzlich weiß ich nicht, wie ich die VZW bestimme. Musste ich nicht einfach Zahlen kleiner und größer als die Nullstellen in die Funktion eingeben und schauen, ob sich bei den Ergebnissen die Vorzeichen ändern?
5. Bestimmung des Schnittpunktes der y-Achse
- x-Werte in die Funktion eingeben und auflösen? Hier weiß ich nicht sorecht weiter.
6. Bestimmung der 1.,2,. und 3, Ableitung
- Die Ableitungen zu bestimmen ist für mich ein Leichtes. Leider weiß ich nur nicht, wozu ich sie eigentlich brauche. Ich weiß dass die erste Ableitung die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt angibt und dort wo die erste Ableitung 0 ergibt, sich Extremstellen (oder Sattelpunkte) befinden können.
7. Bestimmung der Extrempunkte
- Wird mit der ersten Ableitung herausgefunden? Nur weiß ich leider garnicht was ich hier tun muss, sie Null setzen? Auch stellt sich hier die Frage, ob es ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt ist, bzw. ob die erste und zweite Bedingung erfüllt ist.
8. Bestimmung der Wendepunkte
- hier habe ich absolut keine Ahnung, muss ich gestehen.
9. Erstellung der Wetetabelle für den interessanten Bereich der Funktion, in Nähe der zuvorgefundenen Nullstellen und sowie der Hoch,-Tief und Wendepunkte.
- offensichtlich, wie sie zu erstellen ist, ich brauche aber ja die Vorergebnisse, um sie erstellen zu können
10. Bestimmung der Wertemenge
. wie?
11. Zeichnen des Graphen der Funktion
- der Punkt, zu dem alles schließlich zeichnerisch dargestellt wird, auch einleuchtend.
