Beweis zum Schnittpunkt Diagonaler im Parallelogramm

Question

Aufgabe:

Ich habe ein Parallelogramm ABCD mit AB = CD und AD = BC (also die Längen der jeweiligen Strecken sind gemeint). Der Punkt K ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms.

Nun soll ich zeigen, dass der Punkt K die Diagonalen jeweils halbiert.

Problem/Ansatz:

Hey Leute,
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Kann mir jemand zeigen, wie das geht? Eventuell mit Skizze? Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Hallo,

du schreibst leider nicht, ob du es mit Vektoren oder mit anderen Mittel lösen sollst.

Mit kongruenten Dreiecken könnte es so gehen:

Zeichne die Diagonalen. Du erhältst vier Dreiecke, von denen jeweils zwei kongruent sind. Die Winkel sind gleich (Scheitelwinkel, Wechselwinkel an Parallelen) und die gegenüber liegenden Parallelogramm-Seiten sind gleich lang. Daher halbieren sich die Diagonalen.

:-)

Comments

an Parallelen

ist einen kleinen Zwischenbeweis wert

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Es kommt eben darauf an, was vorausgesetzt wird und was verwendet werden soll.

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was vorausgesetzt wird und was verwendet werden soll

Das steht doch da :  ABCD mit AB = CD und AD = BC

Answer 2

Das Parallegramm hat A(0|0);B(6|0);C((7|3) und D((1|3)als Koordinaten. Bestimmung des Schnittpunktes E:

Gerade AC: y=0,43x Gerade BD y=-0,6x+3,6     E(3,5|1,5)Kreis um E mit Radius Strecke EB schneidet y=-0,6x +3,6 in D(1|3). Das gleiche Vorgehen mit der 2. Diagonalen zeigt, dass die Diagonalen einander halbieren.

Answer 3

Hallo,

kannst Du diesen Satz verwenden?

Die Mittelparallele \(m\) eines Parallelenpaars \(h,\,g\) halbiert jede Strecke \(AB\), wobei \(A\) auf \(h\) und \(B\) auf \(g\) liegt.

Dann ginge es z.B. so:

Das Parallelogramm \(ABCD\) wird durch die Parallelpaare \(a,\,c\) und \(b,\,d\) gebildet. Die Mittelparallele von \(a,\,c\) sei \(m\) und die vom Parallelenpaar \(b,\,d\) sei \(n\). Der Schnittpunkt der Mittelparallelen \(m\) und \(n\) sei \(M\).

Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen auf beiden Parallelpaaren. Folglich wird die Strecke \(AC\) auch von beiden Mittelparallelen halbiert. Da es nur einen Mittelpunkt von \(AC\) gibt, ist der Mittelpunkt von \(AC\) auch gleichzeitig der Schnittpunkt \(M\) von \(m\) und \(n\).

Die gleiche Überlegung gilt für die Strecke \(BD\). Auch ihr Mittelpunkt muss in \(M\) liegen und fällt folglich mit dem Mittelpunkt von \(AC\) zusammen.

Daraus folgt: der Schnittpunkt der Diagonalen im Parallelogramm halbiert die Diagonalen.

Gruß Werner